視頻標簽：平面向量基本定理

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視頻課題：新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）《6.3.5平面向量基本定理及坐標表示》安徽安慶

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新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）《6.3.5平面向量基本定理及坐標表示》安徽安慶

6.3.5平面向量數量積的坐標表示
【內容和內容解析】

1. 內容

平面向量數量積的坐標表示.

2. 內容解析

本節內容選自《普通高中課程標準數學教科書》（人教A版）必修第二冊第六章《平面向量及其應用》第三節的第四課時.是在平面向量的坐標表示以及平面向量的數量積及運算律的基礎上展開的，介紹了平面向量數量積的坐標表示、平面內兩點間的距離公式、兩個平面向量的夾角的坐標表示和向量垂直的坐標表示的充要條件.向量的數量積體現了向量的長度和角度之間的一種關系，特別是用向量的數量積能有效地解決線段垂直問題，把向量的數量積應用到三角形中，還能解決三角形邊角之間的有關問題，而平面向量數量積的坐標表示，就是運用坐標這一量化工具表達向量的數量積運算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問題提供了全新的手段，它把向量的數量積與坐標運算兩個知識點緊密聯系起來，是本章的重要內容.
基于以上分析，可以確定本節課的教學重點：掌握平面向量數量積的坐標表示，并能用坐標形式處理有關長度、角度和垂直的問題.
【目標和目標解析】
1.目標
（1）理解、掌握平面向量數量積的坐標表示，會進行數量積的坐標運算；
（2）理解、掌握平面向量的模、夾角等公式，能夠用平面向量的數量積處理有關長度、角度和垂直的問題.
2.目標解析
達成上述目標的標志：
（1）經歷根據平面向量數量積的意義探究其坐標表示的過程，體驗在此基礎上探究發現向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養學生的探究能力、創新精神；
（2）通過對向量平行與垂直的充要條件的坐標表示的類比，教給了學生類比聯想的記憶方法.
【教學問題診斷分析】
雖然本節課之前學生已學習了平面向量的坐標表示和平面向量數量積的概念及運算，但數量積是用長度和夾角這兩個概念來表示的，應用起來不太方便，如何用坐標這一最基本、最常用的工具來表示數量積，使之應用更方便，就是擺在學生面前的一個亟待解決的問題.因此，本節內容的學習是學生認知發展和知識構建的一個合情、合理的“生長點”.從知識的接受上，學生并不困難，也能理解各個公式的坐標表示，所以，本節課采取以學生自主完成為主，教師查漏補缺的教學方法展開教學.然而，學生對如何將問題轉化為用向量方法求解存在思維障礙，本節課的難點是學會將問題轉化為向量的數量積問題，體會轉化與化歸的數學思想.
【教學支持條件分析】
    在學生自主探究平面向量模長、夾角、垂直的公式的過程中，展示學生的討論結果，幫助學生闡釋結論的推導過程.
【教學過程設計】

教學流程	教師活動	學生活動	設計意圖
（一）復習引入，溫故知新	復習：平面向量線性運算的坐標表示，設,，則， ，，那么=？	復習回顧	由舊知識入手，引導學生復習已學過的知識，以便向新知識進行探索.
（二）合作學習，探究新知	探究1：已知兩個非零向量，，怎樣用與的坐標來表示呢？ 設向量分別為平面直角坐標系的軸、軸上的單位向量，則有， ∴              兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和. 探究2： 問題1：回憶向量的數量積有哪些性質？ 問題2：已知，，則以上性質形式如何？ ， 同理， 問題3：設,，則的模如何計算？ ，	動手演算 合作交流                     討論交流	先讓學生自主推導平面向量數量積的坐標表示形式，體會知識的形成過程，然后解釋推導的過程，分享學習的成果，構建和諧的學習氛圍.                 探究2引導學生歸納出坐標表示的性質，讓學生構建完整的知識系統，充分展現師生互動.       問題3完備向量的模長公式，總結出兩點間的距離公式.
（三）學以致用，鞏固新知	例6：已知，求，，與的夾角. 例7：已知，，，試判斷的形狀，并給出證明. 解：是直角三角形. 證明如下： ∵  ， ∴  ∴            探究：用向量的方法來推導兩角差的余弦公式 思考1：結合圖形，應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？ 思考2：怎樣利用向量的方法得到探索結果？ 思考3：與之間有什么關系？	積極思考 交流思路               師生合作 積極思考	例6鞏固本節所學基本公式. 例7先放手讓學生自主探索，交流思路，讓學生體會分類討論的思維方式.再讓學生畫出簡圖，直觀感知三角形的形狀，然后引導學生分析解答.注重培養學生由觀察——猜測——證明的思維方法. 探究的設置旨在讓學生體會用向量方法解決問題的簡潔性，感受向量的工具作用.
（四）總結整理， 提高認識	本節課你學習了哪些知識？又掌握了哪些思想方法？	歸納小結	從知識要點和思想方法兩方面對課堂教學進行小結，使學生對所學知識有一個完整的印象，使知識系統化、條理化.
（五）布置作業	鞏固作業：練習1,2,3 拓展作業：習題6.3第15、16題	課后鞏固	布置作業，鞏固所學知識.

 
 

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