視頻標簽：必修第二冊

所屬欄目：高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：新教材人教A版高中數(shù)學必修第二冊（省優(yōu)質(zhì)課）6.3 平面向量基本定理及坐標表示單元設計

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新教材人教A版高中數(shù)學必修第二冊（省優(yōu)質(zhì)課）6.3 平面向量基本定理及坐標表示單元設計

6.3 平面向量基本定理及坐標表示單元設計
【內(nèi)容和內(nèi)容解析】

1. 內(nèi)容

6.3.1 平面向量基本定理；6.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示；6.3.3 平面向量加、減運算的坐標表示；6.3.4 平面向量數(shù)乘運算的坐標表示；6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標表示.
本單元的知識框圖如下：　

2. 內(nèi)容解析

本單元通過力的分解引出平面向量基本定理，給出平面向量基本定理的證明，運用平面向量基本定理解決簡單問題；然后，通過平面向量基本定理引出向量的正交分解，借助平面直角坐標系，給出向量的坐標表示；最后，介紹向量的加減運算、數(shù)乘運算、數(shù)量積的坐標表示，并用坐標表示兩個向量共線、向量垂直的條件及兩個向量的夾角.平面向量基本定理表明任何一個平面向量都可以唯一地表示成兩個不共線向量的線性組合，即，特殊地，當時，則為正交分解，進而可以借助直角坐標系，用坐標表示向量，建立平面向量與有序數(shù)對的對應，引出平面向量的坐標表示．進一步地，考慮向量運算的坐標表示，即設，
，則，可以將向量的運算歸結為向量坐標的運算，從而實現(xiàn)向量運算的完全數(shù)量化.
本單元蘊含的數(shù)學思想和方法：
（1）數(shù)形結合的思想.體現(xiàn)在：
平面向量基本定理是對平面內(nèi)向量的一個基礎性、結構性的認識：給定一個點A，以及兩個不平行的向量，則可以刻畫平面上任意的點P，通過向量的運算，平面上的點P就可以成為“可操縱”的對象．這是用“數(shù)”的運算處理“形”的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法．
（2）轉化與化歸的思想.體現(xiàn)在：
通過平面向量基本定理，平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)的一組基底表示，因而向量的運算可以轉化為兩個基向量的運算，使問題得以程序化.

1. 類比的思想.體現(xiàn)在：

類比共線向量定理，發(fā)現(xiàn)平面向量基本定理，類比平面向量加法的坐標表示，探索平面向量減法、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標表示，體會類比思想在歸納、發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學研究對象中的作用.
（4）抽象概括的方法.具體說有以下兩點：
①定理得出的抽象過程：物理背景——圖形——文字——符號；
②定理應用中的抽象過程：用向量表示幾何問題，結合向量運算，最后將向量問題翻譯成幾何問題．
（5）以簡馭繁的方法.
平面向量基本定理的學習很好地示范了化繁為簡地思考問題的方法，實現(xiàn)了將無限多個平面向量有序表達的目的.
本單元知識結構：

平面向量及其應用

平面向量的概念

平面向量的運算

平面向量的應用

 
 
 
 
 

共線向量定理

平面向量基本定理

                                                 推廣

	平面向量的幾何表示

 
 
 
 

“平面向量基本定理”的內(nèi)容和應用，是研究向量的正交分解和向量的坐標運算的基礎；向量的幾何表示與運算是向量的坐標表示與運算的平行概念.因此，本單元的上位知識是平面向量的概念、表示與運算法則，下位知識是平面向量基本定理，平面向量的坐標表示，平面向量運算的坐標表示.本單元上承：平面向量的運算及共線向量定理；下啟：用向量方法解決數(shù)學和實際問題，空間向量基本定理及坐標表示.
育人價值：
本單元是學生第一次經(jīng)歷系統(tǒng)地進行理論知識的探究，發(fā)現(xiàn)和歸納平面向量基本定理，實現(xiàn)向量運算完全數(shù)量化，是對第二單元共線向量定理的深化，也為研究空間向量基本定理及坐標表示鋪平了道路.平面向量基本定理實現(xiàn)了將無數(shù)個向量有序表達的目的，有助于培養(yǎng)學生數(shù)學地思考問題，能抓住紛繁復雜事物中的關鍵要素，善于發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)、關系和規(guī)律，精中求簡、以簡馭繁，能在一般觀念指導下思考和解決問題，發(fā)揮數(shù)學在形成人的理性思維、科學精神和促進人的智力發(fā)展中的獨特作用.　
基于以上分析，可以確定本單元的教學重點：平面向量基本定理；平面向量運算的坐標表示．
【目標和目標解析】
1.單元目標
（1）理解平面向量基本定理及其意義．
（2）掌握平面向量的正交分解及坐標表示．
（3）理解平面向量線性運算與數(shù)量積的坐標表示．
（4）理解平面向量的夾角．
（5）理解平面向量共線、垂直的條件.
2.目標解析
（1）類比力的合成與分解，探索平面向量基本定理，能解釋定理的條件與結論的關系、定理的存在性和唯一性以及基底的不唯一性；能用兩個不共線的向量表示一個向量，或?qū)⒁粋�向量分解為兩個向量；能應用平面向量基本定理解決一些簡單問題．
（2）能分析平面向量的正交分解與平面向量基本定理的內(nèi)在聯(lián)系，能熟練地選擇正交基底，通過建立直角坐標系，將向量進行坐標表示．
（3）能在平面向量坐標表示的基礎上，得出坐標表示的平面向量的線性運算與數(shù)量積運算，會進行坐標表示的平面向量的線性運算與數(shù)量積運算．
（4）能描述兩個平面向量的夾角的含義，能用平面向量的數(shù)量積表示兩個平面向量的夾角公式，會求兩個平面向量的夾角．
（5）能用坐標表示的平面向量的數(shù)乘運算解釋向量共線的條件，并會用其判斷兩個向量是否共線；能用坐標表示的平面向量的數(shù)量積解釋向量垂直的條件，并會用其判斷兩個向量是否垂直；體會數(shù)與形的完美結合．
【教學問題診斷分析】
　　在本單元之前學生已經(jīng)學習了向量的概念以及向量的運算，但在學習平面向量基本定理時仍然會遇到很大的困難，主要體現(xiàn)在三方面：
　　其一，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示．類似地，平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個不共線向量表示呢？這是學習障礙之一，首先，這個問題的提出就不容易，其次，從一維數(shù)軸到二維坐標平面，是思維的一個跨越，解決這個問題，可以借助物理中力的分解與合成．
　　其二，任何一個向量都可以唯一表示成，這涉及對“存在性和唯一性”的認識，對思維要求較高．解決這個問題，可以從兩方面入手，一是借助信息技術，動態(tài)表示；另一方面需對唯一性給出嚴格的證明．
　　其三，用向量方法解決幾何問題時，先要用基底表示其他相關向量，進而通過向量運算解決問題，這是一個全新的方法．解決這個問題，需多加練習，做到熟能生巧．
　　由此，可以確定本單元的教學難點是：平面向量基本定理，用平面向量基本定理解決有關問題．
【教學支持條件分析】
　　為更好地理解平面向量基本定理，特別是對定理的存在性與唯一性的認識以及基底的不唯一性，可以借助信息技術工具GeoGebra軟件動態(tài)演示向量的分解過程，幫助學生深入理解概念．在學生自主探究平面向量模長、夾角、垂直的公式的過程中，借助實物投影儀展示學生的討論結果，提高課堂學習效率.
 
 
 
 
 
 
 
6.3.1平面向量基本定理
安慶市石化第一中學    何巧連
【內(nèi)容和內(nèi)容解析】

3. 內(nèi)容

平面向量基本定理.

4. 內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書》（人教A版）必修第二冊第六章《平面向量及其應用》第三節(jié)的第一課時.是在學生學習了平面向量的概念、運算、共線向量定理之后的又一重點內(nèi)容,它既是共線向量定理的推廣，也是平面向量正交分解、將向量運算轉化為坐標運算的基礎，同時還為今后進一步學習空間向量基本定理積累了經(jīng)驗，具有承前啟后的作用.
知識技能方面，它揭示了平面向量之間的基本關系，是利用向量解決問題的基本手段，有著廣泛的應用.由平面向量基本定理，可以進一步實現(xiàn)向量的坐標表示，即實現(xiàn)向量的代數(shù)表示，從而實現(xiàn)向量運算完全代數(shù)化，進而體現(xiàn)向量的工具作用.
思想方法方面，平面向量基本定理的探索過程中蘊含著轉化化歸和數(shù)形結合的數(shù)學思想.本節(jié)課的學習很好地示范了以簡馭繁思考問題的方法，實現(xiàn)了將無限多個平面向量有序表達的目的，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng).
基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點：平面向量基本定理，定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程.
【目標和目標解析】
1.目標
（1）理解平面向量基本定理及其意義；
（2）會用平面向量基本定理解決簡單平面幾何問題，掌握用基向量表示平面上的任一向量.
2.目標解析
達成上述目標的標志：
（1）經(jīng)歷平面向量基本定理的探索過程，體會由力的分解到向量的分解的過程，感悟數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學思想的作用；通過證明平面向量基本定理理解定理，體會定理的重要性及其意義，增強對數(shù)學思維方法的理解.
（2）通過選擇基底表示平面內(nèi)的一些向量，解決簡單的平面幾何問題，體會向量法在解決平面幾何問題中的作用和基本步驟.
【教學問題診斷分析】
雖然本節(jié)課之前學生已經(jīng)學習了平面向量的基本概念、基本運算及共線向量定理，為本節(jié)課的學習奠定了知識基礎，但，學生對向量之間關系的認識還只是停留在“一維”層面，包括“相等向量”“相反向量”“共線向量”等，而平面向量基本定理揭示的是“二維”層面的平面內(nèi)向量之間的關系，要實現(xiàn)這種認識層級的躍遷，對學生有一定難度.另外，如果說由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么，由向量的分解想到任意一個向量都可以用一對不共線的向量，經(jīng)過線性運算加以表示是第二次抽象，也是認識上的一種飛躍，這都會給學生造成認知上的困難.再有，平面向量基本定理中的“不共線”“任一”“有且只有”等數(shù)學專用語對一些學生會構成理解障礙.由此可以確定本節(jié)課的教學難點是平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程和對定理的證明.
平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程的教學，對學生數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)至關重要.為克服以上教學難點，教學過程中要注意引導學生積極參與定理形成的探索過程，通過多舉實例，從力的分解等學生熟悉的背景，帶領學生去歸納、發(fā)現(xiàn)定理；利用信息技術工具等具體形象的教學手段進行直觀闡釋、辨析，幫助學生理解定理.引導學生從事觀察、思考、歸納、類比、交流等數(shù)學活動，經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般的思維過程，獲得數(shù)學思考的方式與方法.
【教學支持條件分析】
在平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程中，利用GeoGebra軟件展示向量分解的動態(tài)過程，在此基礎上，首先固定基底，改變要表示的向量，觀察系數(shù)的變化及取值的確定性，幫助學生理解定理的存在性和唯一性，然后移動基底，觀察同一個向量分解過程的變化，幫助學生理解定理中基底所需滿足的條件及基底的不唯一性.
【教學過程設計】

教學流程	教師活動	學生活動	設計意圖
（一）直面問題，引入新課	平面內(nèi)，因大小或方向不同，產(chǎn)生了無數(shù)個向量，能不能通過對有限個向量的討論來表達平面內(nèi)所有向量之間的關系和運算呢？這就是我們本節(jié)課學習的內(nèi)容-----平面向量基本定理.	思考頓悟	闡明意圖，引入新課
（二）合作探究，發(fā)現(xiàn)定理	問題1：求作力的合力.       問題2：求作力F在水平方向和豎直方向的分力.   問題3：如圖，向量與不共線，能否在直線OA、OB上分別找一點M、N，使？             問題4：在上圖中，設 ，則向量分別與， 的關系如何？從而向量與向量,的關系式如何？ 問題5：如圖，向量也能由向量, 表示出來嗎？請動手作圖試試，并填空.               問題6:平面內(nèi)任一向量，是否都可以用平面內(nèi)兩個不共線的向量,表示？又如何表示？你能受剛剛的啟發(fā)分析一下嗎？     動畫演示：利用多媒體動畫演示向量的分解過程.	動手操作 師生合作               直觀感知 討論探究	問題1和問題2由熟悉的力的合成和力的分解過程的回顧啟發(fā)學生得到問題3中向量的分解的思路. 問題4繼續(xù)追問，引導學生得出定理的一般形式. 問題5通過學生反復動手作圖感悟不同方向的向量的分解過程，為問題6中一般向量的分解埋下伏筆，利用圖形培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng). 問題6引導學生由特殊到一般，抽象歸納出一般向量的分解，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng). 六個問題題環(huán)環(huán)相扣，逐步遞進，不斷分解難點，一步步引導學生發(fā)現(xiàn)“定理”. 動畫演示向量的分解過程，引導學生“感悟”定理.

（三）歸納總結，形成規(guī)律

問題7：若上述向量，，都為給定向量，則系數(shù)唯一確定？請證明你的結論. 問題8：你能由此得出什么結論呢？請歸納總結. 平面向量基本定理： 如果是平面內(nèi)兩個不共線向量，那么對于同一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使得 基底：這里不共線的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 問題9：基底有什么要求？同一平面內(nèi)，基底唯一嗎？

討論交流 推理證明

問題7鞏固反證法的證明思想，培養(yǎng)學生數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng). 問題8將直觀感受轉化為文本知識，突出定理的“存在性”和“唯一性”，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng). 經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)、證明的全過程，引導學生感悟聯(lián)想、類比、抽象、概括等重要的數(shù)學學習方式.

（四）學以致用，鞏固新知	例1:在中， ,點分別是的中點，連接并延長到點，使得.設. (1)用表示； (2)判斷有什么關系，并用向量方法證明； (3)求.	討論交流 師生合作	例題教學，鞏固平面向量基本定理,引導學生體會定理的基礎性地位，感悟從無序到有序、化繁為簡的思考問題的方法.
（五）總結整理， 提高認識	本節(jié)課你學習了哪些知識？又掌握了哪些思想方法？	回顧小結	從知識要點和思想方法兩方面對課堂教學進行小結，將課堂所學知識內(nèi)化為學生的基本素養(yǎng).
（六）布置作業(yè)	鞏固作業(yè)：習題6.3:第1題,第11題 拓展作業(yè)：已知是邊長為2的等邊三角形，點D,E分別是AB,BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=3EF. （1）用表示； （2）求.	課后鞏固	布置作業(yè)，鞏固所學知識。

 

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