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視頻課題：新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）6.4.1 平面幾何中的向量方法

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新教材人教A版高中數學必修第二冊（省優質課）6.4.1 平面幾何中的向量方法

6.4.1平面幾何中的向量方法
教學設計

• 內容和內容解析

1. 內容

平面幾何中的向量方法.

2. 內容解析

前面我們學習了平面向量的概念和運算，并通過平面向量基本
定理，把向量的運算轉化為實數的運算。向量具有明確的幾何背景，由此可以想到利用向量解決一些簡單的平面幾何問題，感受向量在解決數學問題中的作用.
二、教學目標
1. 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，體會用向量解決平面幾何問題的基本思路；
2. 經歷用向量解決平面幾何問題的基本過程，提升直觀想象、數學建模、邏輯推理與數學運算素養，感受向量在解決數學問題中的作用，激發學習興趣.
三、教學重難點
1.教學重點：用向量方法解決簡單幾何問題的方法與步驟.
2.教學難點：如何把幾何問題轉化為向量問題，如何利用向量的運算得到幾何問題的結論.
四、教學過程設計
   我們知道，數學主要研究幾何和代數兩大內容，在前面學習中我們引入了一個具有雙重身份的“多面手”，它是誰呢？平面向量！今天，我們共同來學習平面向量是如何架起代數與幾何這座橋梁的？
（一）問題引入
教師：平面向量是解決數學問題的有力武器，向量的線性運算與數量積運算具有鮮明的幾何背景，如何利用向量及其運算表示平面幾何圖形的相關性質呢？
學生：思考討論并給予回答.
教師:（總結）平面圖形的很多性質如全等、相似、平行、垂直、長度、夾角等都可以由向量的運算表示出來.平面幾何的很多問題都可用向量運算的方法加以解決.
用表格的形式呈現平面圖形的相關性質與向量及其運算之間的聯系。下面通過具體實例，說明向量方法在平面幾何中的應用.

• 具體實例

 例1：如圖6.4-1，是的中位線，用向量方法證明：

DE∥BC,

        .
  
 
 
師生活動：
(1)回憶初中的證明方法；
(2)在初中證明這個結論需要添加輔助線，有一定的思維難度。那如何利用平面向量這個工具解決這一平面幾何問題呢？
本題中需證明的線段DE與BC之間的關系有兩層：一是位置上的平行關系，二是數量上的比例關系，說明以上兩層幾何關系，借助平面向量這個工具，即證明，降低了添加輔助線的思維難度.具體的證明過程如下：

 

 

• 歸納總結

師生活動：教師引導學生自行總結用向量方法解決平面幾何問題的基本思路：先把幾何圖形中的元素用向量表示，再借助于向量的運算研究圖形中幾何元素之間的關系，然后把向量運算的結果翻譯成平面幾何的形式.
用向量法研究平面幾何問題的過程可以簡單地表述為：
幾何圖形到向量       恰當的向量運算      向量到幾何關系
即用向量方法解決幾何問題的“三步曲”：

1. 建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
2. 通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
3. 把運算結果“翻譯”成幾何關系.

• 鞏固應用

平行四邊形是平面幾何中學生熟悉的又一基本圖形，它有很多重要的性質.
例2：如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發現對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關系嗎?
 
 
 
師生活動：矩形是特殊的平行四邊形，顯然在矩形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.這一結論在平行四邊形中是否成立呢？又如何利用上面總結的向量方法總結平面幾何問題的基本思路解決這一問題呢？
分析：平行四邊形中兩條對角線對應的向量恰是兩條鄰邊對應的兩個向量的和與差，我們可以通過向量運算來探索它們模之間的關系.
教師給出規范的解題過程.并提出以下思考：
思考1：能用自然語言敘述這個關系式的意義嗎？
平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.
思考2：還可以用什么方法解決該問題呢？
上述方法根據圖形的特點選擇基底，運用基底運算得出向量的模長，坐標運算是向量運算的另一種常用形式，引導學生加以思考并運用，加強學生在向量學習中的基底意識與坐標意識.

• 課堂練習

練習 1：用向量法證明平面幾何中的勾股定理.
勾股定理是平面幾何中一個基本的定理，是數學定理中證明方法最多的定理之一，在平面幾何的證明中需要添加輔助線、構造正方形等，不僅復雜且不易想到。運用向量法研究三角形中的性質，體現向量解決平面幾何問題的優勢，激發學生學習興趣。
練習 2：課本 39 頁的第 2 題.
本題可利用幾何法、基底法、坐標法等多種方法加以解決，學生自主完成，通過一題多法，加強學生對平面幾何中向量方法的運用與理解.

• 課堂小結

   學生回顧總結本節課的知識點，敘述用向量方法解決幾何問題的基本思路，體會其中的數學思想方法.
五、作業布置
（1）課本52頁習題 6.4    1,2,3；
（2）用向量法探究“三角形的三條中線相交于一點”.
 

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