視頻標(biāo)簽：圓的面積

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視頻課題：西南師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級上冊圓的面積公式推導(dǎo)_重慶市優(yōu)課

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西南師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級上冊圓的面積公式推導(dǎo)_重慶市優(yōu)課

“圓的面積”教學(xué)設(shè)計 
教學(xué)內(nèi)容： 教學(xué)目標(biāo)： 
1.經(jīng)歷操作、觀察、討論和歸納等數(shù)學(xué)活動的過程，探索并掌握圓的面積公式，能正確計算圓的面積，并能應(yīng)用公式解決相關(guān)的簡單的實際問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。 
2.進一步體會“轉(zhuǎn)化：化曲為直”的數(shù)學(xué)思想方法，感悟極限思想的價值，培養(yǎng)運用已有知識解決新問題的能力，發(fā)展空間觀念。 
3.進一步體驗數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受用數(shù)學(xué)的方式解決實際問題的過程，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 
教學(xué)重點和難點：圓面積的計算公式推導(dǎo) 教學(xué)準(zhǔn)備：圓形紙片、剪多媒體課件等 教學(xué)過程： 
一、提供觀察情境，為建立空間觀念作鋪墊 
師：（出示動畫：一只被繩子拴著的羊在草地上轉(zhuǎn)一圈，如圖1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察這個畫面，求羊活動的范圍有多大，就是求圓的什么？ 
生：圓的面積  
師：如果這只羊想要擴大它的活動范圍，你能幫它想個辦法嗎？    生：可以把繩子拉長。 
師：（課件演示拉長繩子，羊運動一周成一個新的圓，如圖2)圓 的面積變大了，說明圓的面積和什么有關(guān)？   
生：圓的面積和半徑有關(guān)。 
師：那圓的面積和半徑之間會有怎樣的關(guān)系呢？讓我們帶著這個問題開始今天
的探究之旅。 
    設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)羊吃草的情境，揭示圓形區(qū)域的大小就是圓的面積，同時還孕育圓的面積取決于繩子的長短，從而使學(xué)生自己抽象出“圓面積的大小是由圓的半徑?jīng)Q定的”。 
 
                    
             
                    
                             
    二、創(chuàng)設(shè)操作情境，建構(gòu)空間觀念 
1.回顧相關(guān)知識，喚起經(jīng)驗，鋪墊探究新知之基。 師：大家回顧一下，我們學(xué)過哪些平面圖形的面積？ 
生：我們學(xué)過長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形的面積。 師：讓我們一起來回顧一下是怎樣推導(dǎo)出這些圖形面積計算公式的。 長方形的面積計算公式是用數(shù)方格的方法推導(dǎo)出來的，平行四邊形是轉(zhuǎn)化成長方形推導(dǎo)出它的面積計算公式的。用的是割補法 
三角形和梯形是用兩個完全一樣的圖形拼成一個平行四邊形，簡稱倍拼法，走的也是轉(zhuǎn)化之路。 
   
設(shè)計意圖：用方格度量圖形的面積，是基于面積的意義，但用來測量平行四邊形等圖形的面積時已感受到不精確、不方便，因而凸顯用轉(zhuǎn)化的方法更為簡捷。而圓面積計算公式的推導(dǎo)是小學(xué)教材中實現(xiàn)“化曲為直”的唯一題材，在有限的教學(xué)時間里如何實現(xiàn)“化曲為直”才是我們應(yīng)放大的視角。 
2. 呈現(xiàn)學(xué)習(xí)困境，引發(fā)矛盾，積蓄思維突破能量。  
師:那你們打算用什么轉(zhuǎn)化方法把圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的平面圖形？  生：我覺得應(yīng)該用轉(zhuǎn)化法，因為如果用數(shù)方格的方法，方格會多出來，而且還有一些方格直接露在外面，數(shù)出來的面積也不準(zhǔn)確。 
     
師:如果用倍拼法行嗎？（課件依次出示兩個圓、三個圓、4個圓進行倍拼） 師：再來看看割補法能行嗎？這里有兩個同學(xué)，他們把圓平均分成了4份，然后拼成了如下兩個圖形：你覺得哪種拼法面積沒有改變？（課件呈現(xiàn)） 
  
 
                    
             
                    
                             
生:左面的正方形不行，這個圖形變大了。 
師：看來轉(zhuǎn)化時不能增加圖形的面積，也不能減少圖形的面積。觀察右邊這個圖形，它有點像我們學(xué)過的什么圖形？看有什么不足？  
生:平行四邊形。底邊不平，弧線太彎了。 
師：如果分割的份數(shù)多一些，拼出的圖形底邊會不會變得平直一些？請打開信封袋，讓我們拿出紙剪拼一下，看看是不是你們想象的那樣。（同桌合作把圓片分成8等份和16等份，并進行剪拼。） 
反饋學(xué)生的拼法。 
師：孩子們，讓我們一起來觀察拼出的圖形，(學(xué)生分成8等份、16等份后拼成的圖形)你發(fā)現(xiàn)了什么？ 
生：我覺得它們越來越像平行四邊形. 
3.感悟數(shù)學(xué)思想，分割轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)極限思想飛躍。 
師：事實真的如此嗎？借助電腦幫忙。（幾何畫板演示分成32等份、64等份)     
師:觀察圖形的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 
生：隨著剪的次數(shù)增加，剪出的每一份底邊變得越來越平直，拼成的圖形越來越像平行四邊形了。 
(電腦用幾何畫板演示繼續(xù)分割） 
    師：還想分割下去嗎?我們請電腦幫忙，觀察把圓分成128等份后，拼出的圖形與分成8等份拼成的圖形會有什么不同？     (幾何畫板演示把圓分成128等份)     生：我覺得有點像長方形。 
    師：剛才我們說拼出的圖形越來越像平行四邊形，現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)再往下分的話，拼出的圖形越來越像——     生：長方形。 
    師：那怎樣讓它更像長方形呢?     生：繼續(xù)往下分。 
 
                    
             
                    
                             
    師：好，咱們繼續(xù)往下分。讓我們閉上眼睛想象一下，如果無限分割這個圓片，最后會拼出一個怎樣的圖形呢? 
    (幾何畫板電腦演示把圓分成256等份，512等份，……驗證學(xué)生的想象)     師：孩子們．我們把圓通過無限分割，居然轉(zhuǎn)化成了一個長方形，實現(xiàn)了“化曲為直”。這個思想，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是有開創(chuàng)性意義的。觀察一下，轉(zhuǎn)化后的長方形和原來的圓的面積相等嗎?長方形的長相當(dāng)于圓的什么？長方形的寬相當(dāng)于圓的什么？同桌交流，把討論的結(jié)果記錄在研究單上。 
小組交流： 
生：我們通過觀察發(fā)現(xiàn)長方形的面積等于圓的面積，長方形的長等于圓周長的一半，長方形的寬等于圓的半徑。 
師：那現(xiàn)在能推導(dǎo)出圓的面積公式了嗎？試著在你的作業(yè)紙上寫一寫。 生：長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，用C÷2=πr表示，寬相當(dāng)于半徑，用r表示。長方形的面積=長×寬，圓的面積=πr×r=πr2 
師：(邊講邊板書)長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，寬相當(dāng)于半徑，因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr×r=πr2。現(xiàn)在要求圓的面積是不是很簡單了？ 
師：那現(xiàn)在要測算一個圓的面積，只要測量圓的什么就可以了？ 生：半徑 
師：看著這個公式：S=πr2，π表示什么？r是什么？r2表示什么意思？ 隨著學(xué)生的回答，課件出示下圖：      
師：根據(jù)公式S=πr2，誰能說說圓的面積到底是他半徑平方（圖中正方形面積）的多少倍？ 
師：如果知道正方形的面積是4平方厘米，那么圓的面積是多少平方厘米？如果正方形的面積是5平方厘米，那圓的面積是多少平方厘米？ 
    設(shè)計意圖：發(fā)揮幾何畫板參數(shù)隨機變化的強大功能，演示由圓逐次多分的變
 
                    
             
                    
                             
化，讓學(xué)生真切地感受到無限分割后，小扇形的弧線最終變成一條“線段”。從而聯(lián)想到圓經(jīng)過無限分割，化曲為直，轉(zhuǎn)化為長方形，從而發(fā)展空間觀念。     三、回歸生活情境，強化空間觀念 
計算羊吃到的草地最大面積。(反饋略) 以下各題印在作業(yè)紙上。 
1.小明所在的學(xué)習(xí)小組把一個圓形紙片剪成64等份，然后拼成了一個近似
長方形。他們測得長方形的寬是3厘米。你能幫他們求出圓的面積是多少平方厘米嗎？ 
   
2.小明所在的學(xué)習(xí)小組把一個圓形紙片剪成64等份，然后拼成了一個平行
四邊形。他們測得平行四邊形的底邊長18.84厘米。你能幫他們求出圓的面積是多少平方厘米嗎？ 
  
3.根據(jù)下面圖形中提供的條件求圓的面積 
    
①                  ②                      ③ 
    四、引入歷史情境，提升空間觀念 
師：回顧一下，這節(jié)課你有哪些收獲? 生：我學(xué)會了圓的面積計算公式。 
生：我知道了圓的面積是半徑平方的π倍。 
生：我懂得了圓經(jīng)過無限分割，最后實現(xiàn)化曲為直，轉(zhuǎn)化為長方形。 師：(小結(jié))是呀，重要的不只是會算圓的面積．更重要的是通過無限分割，實現(xiàn)化曲為直。這一思想是17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家開普勒開創(chuàng)的，下面我們一起來聽一聽他當(dāng)初的想法。（播放微課） 
 
 
                    
             
                    
                             
開普勒是17世紀(jì)譽滿歐洲的數(shù)學(xué)家。在他之前，數(shù)學(xué)家們都是通過從圓內(nèi)接正多邊形人手，讓邊數(shù)成倍增加．用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓面積，(如圖8)不僅計算復(fù)雜，而且所得結(jié)果都是近似值。 
  
開普勒受切西瓜的啟發(fā)，把圓分割成很多個小扇形，每個小扇形都可以看成等腰三角形。每個三角形的頂點都是圓心，當(dāng)分的份數(shù)越多，這些小三角形的高都就越接近于圓的半徑，所有底邊連起來的長度之和就等于圓的周長。當(dāng)把這些小三角形拼成拼起來就得到一個長方形(如下圖所示)，長方形的面積就是圓的面積。從而得出了圓面積計算公式。其實，在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里就有圓面積計算方法的記載：“半周半徑相乘得積步”，意思是說，圓周長的一半乘半徑得圓的面積。這種方法與開普勒的算法完全一致，而且比開普勒的發(fā)現(xiàn)早了六百多年。 
    
   設(shè)計意圖：開普勒的故事豐富了問題解決的方法，拓展了學(xué)生思維，使學(xué)生
進一步認(rèn)識到，通過無限分割，實現(xiàn)化曲為直，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有偉大意義的創(chuàng)舉，是人類對固有認(rèn)識的一次超越。 
      
附：探究單于后面。     
 
                    
             
                    
                             
探究單 
把一個圓形紙片剪拼成一個近似長方形后，長方形的長相當(dāng)于圓的什么？長方形的寬相當(dāng)于圓的什么？ 
     
           因為，長方形的面積=長  ×  寬 
       所以，圓的面積=（    ）×（   ）                      =（     ）  
探究單 
把一個圓形紙片剪拼成一個近似長方形后，長方形的長相當(dāng)于圓的什么？長方形的寬相當(dāng)于圓的什么？ 
     
           因為，長方形的面積=長  ×  寬 
       所以， 圓的面積=（   ）×（   ）                      =（     ） 
 
 
 
 
 
                    
             
                    
                             
作 業(yè) 單 
求出下列各圓的面積 
1. 
    
2、小明所在的學(xué)習(xí)小組把一個圓形紙片剪成64等份，然后拼成了一個近似長方形。他們測得長方形的寬是3厘米。你能幫他們求出圓的面積是多少平方厘米嗎？ 
    
3、        
4、小明所在的學(xué)習(xí)小組把一個圓形紙片剪成64等份，然后拼成了一個平行
四邊形。他們測得平行四邊形的底邊長18.84厘米。你能幫他們求出圓的面積是多少平方厘米嗎？ 

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