視頻標簽：直線與圓的,位置關系

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視頻課題：高中數學人教A版必修24.2.1直線與圓的位置關系-天津

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高中數學人教A版必修24.2.1直線與圓的位置關系-天津市五十一中學教案

 
 

《直線與圓的位置關系》教學設計
（人教A版高中課標教材數學必修2第四章4.2節）
 
 
 
 

直線與圓的位置關系
       
一、教學內容解析
本節課是《普通高中課程標準實驗教科書》（人民教育出版社 課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著）必修2中第四章《圓與方程》第二節“直線、圓的位置關系”的第一課時，它是在學生已經掌握“直線的方程”和“圓的方程”的基礎上，進一步研究直線與圓的位置關系．
17世紀初期，笛卡爾發明了坐標系，人們開始在坐標系的基礎上，用代數方法研究幾何問題．上一章，我們學習了直線與方程．知道在直角坐標系中，直線可以用方程表示，通過方程，可以研究直線間的位置關系，直線與直線的交點等問題．本章在上一章的基礎上，將繼續用坐標法探究圓的幾何特征，建立它的方程，通過方程研究它的簡單性質，并用坐標法解決一些與圓有關的簡單幾何問題和實際問題，如直線與圓、圓與圓的位置關系等問題，進一步讓學生感受數形結合的基本思想方法，形成用代數方法解決幾何問題的能力．
解析幾何是數學的一個重要分支，它溝通了數學內數與形、代數與幾何等最基本對象之間的聯系．本節課將研究直線與圓的位置關系，它的核心內容是如何借助直線的方程和圓的方程來判斷直線與圓的位置關系，通過學習讓學生掌握兩種判斷方法．一種方法，根據學生初中學習直線與圓相交、相切、相離的定義的基礎上，將直線的方程與圓的方程聯立方程組，通過討論方程組的解的不同情況來判斷．本方法主要突出坐標法的思想且具有一般性，可類比地推廣到對橢圓、雙曲線、拋物線同類問題的研究中．另一種方法，根據學生初中學習的直線與圓三種位置關系的判定，即利用圓心到直線的距離與半徑比較．該方法，涉及到把點與坐標、直線與方程聯系起來，實現空間形式與數量關系的結合．需要特別指出的是：該方法屬圓的個性范疇，不能推廣．通過分析不難看出，“直線與圓的位置關系”起到了承上啟下的重要作用．
直線與圓的位置關系這一內容，蘊含著豐富的數學思想．首先，直線與圓的位置這一幾何特征，是通過點的坐標和直線、圓的方程來研究，體現了數形結合的思想方法．這在學習直線的方程、圓的方程時，學生已經接觸過，結合本節課內容，可以進一步加強對數形結合思想方法的理解，發揮從“數”和“形”兩個方面共同分析解決問題的優勢．其次，從本節課知識的研究過程來看，由“幾何問題（位置關系）”到“代數問題（坐標、方程、點到直線的距離公式、聯立方程組等），再到“幾何問題（分析代數結果的幾何含義）”，充分體現了由“形”到“數”，再由“數”到“形”的轉化過程，是轉化思想的具體應用．再有，通過具體例子判斷直線與圓的位置關系，來歸納總結判斷直線與圓位置關系的方法，充分體現了由特殊到一般的思想方法．
因此，本節課的教學重點：直線與圓的位置關系及判斷方法；坐標法的基本思想．
二、教學目標設置
（一）教學目標
1．掌握直線與圓的三種位置關系；熟練掌握判斷位置關系的兩種方法；能夠解決一些簡單的與直線與圓位置關系相關的問題．
2．（1）通過本節課的學習，讓學生經歷操作、觀察、探索、總結直線與圓位置關系的判斷方法的過程，從而培養學生觀察、比較、概括的邏輯思維能力；（2）通過本節課的學習，要讓學生經歷如下過程：將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題，處理代數問題，分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題，要幫助學生不斷地體會“數形結合”、“轉化”和“由特殊到一般”的數學思想方法．
3．激發學生的求知欲和學習興趣，培養學生積極探索、發現新知識、總結規律的能力，解題時養成歸納總結的良好習慣．
（二）目標解析
1．學生在初中已經學習了直線與圓相交、相切、相離的定義和判定，但只停留在結論層面．本節課將在這個基礎上，結合學生掌握的直線、圓的方程來探究直線與圓位置關系的兩種判斷方法．一種方法是利用圓心到直線的距離與半徑比較（會涉及到點到直線距離公式），思路簡潔，學生易接受，但這種方法具有一定的局限性，不能求出公共點的坐標．另一種方法是直線的方程與圓的方程聯立方程組，根據方程組的解的不同情況來判斷，充分體現“數學結合”思想方法的應用，同時為選修2中研究直線與圓錐曲線的位置關系奠定堅實基礎．掌握判斷位置關系的方法，進一步利用坐標法解決一些簡單的與位置關系相關的問題．
2．數學思想的教學一般要經過滲透孕育期、領悟形成期、應用發展期、鞏固深化期四個階段，而非能復制與灌輸．在探究利用坐標法研究直線與圓的位置關系時，讓學生領悟到數形結合思想、轉化思想的存在，并能運用這些數學思想觀察、分析直線與圓的位置關系．
3．通過利用坐標法探究直線與圓的位置關系，使學生經歷觀察、分析、探究、歸納、概括的認知過程，培養學生良好的思維品質，提高學生思維能力．
三、學情分析
（一）學生程度
我所面臨的學生是高一新生，所授課的班級中考數學平均分較低，學生層次不同，存在一定差異．雖經歷了必修一集合、函數相關知識的學習，但解析幾何的學習剛剛開始，對坐標法還處于了解的層次。
（二）知識層面
1．學生初中已經接觸過直線與圓相交、相切、相離的定義和判定；
2．掌握了點的坐標、直線的方程、圓的方程以及點到直線的距離公式；
3．必修二的第三章初步學習了坐標法．
（三）能力層面
1．掌握利用方程組的方法來求直線的交點；
2．具有用坐標法研究點與圓的位置關系的基礎；
3．具有一定的數形結合解題思想的基礎．
根據以上三個方面的分析，在學生已有的認知基礎的條件下，學生可以自主完成利用圓心到直線的距離與半徑比較來判斷直線與圓的位置關系的方法；部分學生可以在研究直線的交點的基礎上來完成聯立直線與圓的方程，通過方程組的解的不同情況來研究，但學生僅僅停留在模仿、類比的知識表面，知識的來龍去脈并不知曉，這時需要教師的引導和幫助．
教學難點： 用坐標法判斷直線與圓的位置關系．根據本節課的特點，在教學中借助幾何畫板可以幫助學生進行數學探究．
四、教學策略分析
1．根據本節課教材內容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，借助信息技術工具，以幾何畫板為平臺，通過圖形的動態演示，變抽象為直觀，為學生的數學探究與數學思維提供支持．
2．由于我校學生基礎薄弱，所以在整節課的教學中采用小組合作學習的方式，這樣可以為不同認知基礎的學生提供學習機會，同時有利于發揮各層次學生的作用．
3．本節課的教學設計遵循了“以學生為主”的教學模式，教師始終堅持啟發式教學原則，設計一系列問題串，以引導學生的數學思維活動．教師在整個教學過程中，注意到了少講，給學生充分活動的時間和空間，讓學生互相評價，總結解題經驗．教師的重點放在了對解法的歸納以及坐標法的思想是否得到落實上．
五、教學過程
（一）引入新知
問題1： 
（1）根據圖（一）直角坐標系中圓的圖形，寫出
圓的標準方程                   ；
圓的一般方程                   ．
（2）在圖（一）中根據直線的方程畫出直線，
并判斷直線與圓的位置關系            ．
（3）在圖（二）中根據直線的方程畫出直線，并判斷直線與圓的位置關系           ．
 

 
（4）在圖（三）中根據直線的方程畫出直線，
并判斷直線與圓的位置關系          ．
 
 
師生活動：學生動手畫圖、思考，教師巡視指導，學生代表到前面演示，一邊講解做題過程一邊與同學們核對．
【設計意圖】通過問題的設置，可以鍛煉學生動手畫圖的能力，同時達到復習鞏固的目的，還體現曲線與方程的對應關系；啟發學生由圖形獲取直線與圓的位置關系以及判斷方法的直觀認知，為新課的學習奠定堅實的基礎．
思考1：在核對的過程中，圖（三）的結果出現了分歧，有的同學的答案是直線與圓的位置關系是相離，有的同學認為是相切，思考到底哪種情況是正確的呢？
師生活動：教師制造矛盾，讓學生發現通過圖形判斷直線與圓的位置關系會存在一定的誤差，但又沒有更好地理由否定對方的結果．
【設計意圖】通過問題的設計，可以激發學生學習新知識的強烈欲望，體現新知學習的必要性．
思考2：怎樣判斷直線與圓的位置關系？
直線與圓相交、相切、相離的定義：
（1）直線和圓有兩個公共點，直線與圓相交；
（2）直線和圓有唯一公共點，直線與圓相切；
（3）直線和圓沒有公共點，直線與圓相離．
直線與圓相交、相切、相離的判定：設圓的半徑為，圓心到直線的距離為．
    （1）當時，直線與圓相交；
（2）當時，直線與圓相切；
（3）當時，直線與圓相離．
兩種方法：①根據定義（根據公共點的個數來定義位置關系）；
②圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系． 
師生活動：教師提問，學生思考、回答，教師根據學生回答情況及時進行補充．
【設計意圖】以問題為載體，幫助學生復習、整理已有的知識結構，培養學生養成良好的學習習慣．
（二）構建新知
問題2：既然畫圖形存在誤差，思考不畫圖，不通過圖形如何判斷直線與圓的位置關系？借助問題1中（2）和（3）為背景進行思考討論．
（2）已知直線的方程是，圓的方程是，判斷直線與圓的位置關系．
（3）已知直線的方程是，圓的方程是，判斷直線與圓的位置關系．
師生活動：以小組為單位進行討論研究，教師巡視指導，討論有結果的小組可以派代表寫在黑板上．
【設計意圖】由較簡單的問題導出這節課的內容，讓學生利用已有的知識，探究用坐標法判斷直線與圓的位置關系的方法，給學生留有充分的活動時間．
思考3：如何利用坐標法的三步曲總結利用圓心到直線的距離與半徑比較的方法？
師生活動：學生講解，教師板書總結的過程，其他學生補充，教師適時點評．
【設計意圖】利用幾何特征解決這個問題，符合學生的認知基礎，思路簡單，容易獲得結論.
思考4：讓學生思考為什么可以通過讓直線的方程與圓的方程聯立，來研究直線與圓的位置關系問題？
這種方法要讓學生先理解幾何元素及關系如何用代數表示，充分理解曲線與方程的對應關系．
假設直線與圓有公共點，設為，教師要讓學生理解下列對應關系．

幾何元素及關系	代數表示
點
直線
圓
點在直線上
點在圓上
直線與圓的公共點是	點的坐標是方程組的解

師生活動：學生思考、討論，教師巡視指導，讓學生完成用聯立方程組的方法確定直線與圓的位置關系，并完成利用坐標法的三步曲總結這種方法．
【設計意圖】用坐標法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應的幾何元素：點、直線、圓；然后對坐標和方程進行代數運算，最后再把代數運算結果“翻譯”成相應的幾何結論.讓學生體驗坐標法的思想.借助幾何畫板平臺，讓學生真正理解“數”與“形”的對應關系.
思考5：總結利用方程判斷直線與圓的位置關系的兩種方法．
方法一：設直線，圓
可由方程組（）的解的不同情況來判斷：
當方程組有兩組實數解時，直線與圓相交；
當方程組有一組實數解時，直線與圓相切；
當方程組沒有實數解時，直線與圓相離．
     方法二:設直線，圓
可由圓心到直線的距離與半徑的大小關系來判斷：
（1）當時，直線與圓相交；
（2）當時，直線與圓相切；
（3）當時，直線與圓相離．
教師幫助學生梳理、歸納：

位置關系	相  交	相  切	相  離
幾何特征
代數特征	（）式有兩組實數解	（）式有一組實數解	（）式沒有實數解
公共點個數	兩個	一個	沒有

【設計意圖】讓學生通過獨立的思考，概括出利用直線與圓的方程來判斷它們位置關系的兩種方法，自己可以把課堂上所學的知識點連成知識線，從而加深了學習的印象．
（三）小結新知
問題2：利用所學知識解決有“爭議”的問題
（4）已知直線的方程是，圓的方程是，判斷直線與圓的位置關系．
師生活動：學生任意選擇方法，進行判斷，教師巡視、統計選擇兩種方法的人數．對比兩種方法．
【設計意圖】通過問題的設計，可以讓學生感受到利用所學的知識可以解決一些問題，充分體現所學知識的必要性．通過兩種方法的對比，可以對解法進行歸納，并體現坐標法的思想．一種方法屬圓的個性范疇，不能解決公共點的坐標，也不能推廣；另一種方法具有一般性，可以解決公共點的坐標，也可類比地推廣到對橢圓、雙曲線、拋物線同類問題的研究中.
（四）鞏固新知
問題3：已知圓的方程為，直線過定點，斜率為，當直線與圓相
交；相切；相離時，分別求的取值．
師生活動：學生練習鞏固，教師巡視指導，利用投影展示學生的解題過程，并提出解題的規范要求．利用幾何畫板的動態演示，讓學生充分認識到“數”與“形”的對應關系．
【設計意圖】通過問題的設計，不但可以鞏固所學知識，還可以讓學生真正體會由“幾何問題（位置關系）”到“代數問題（坐標、方程、點到直線的距離公式、聯立方程組等），再到“幾何問題（分析代數結果的幾何含義）”，充分體現了由“形”到“數”，再由“數”到“形”的轉化過程，是轉化思想的具體應用．
（五）歸納小結
問題4：（1）通過本節課的學習，你學到了哪些知識？
       （2）通過本節課的學習，你掌握了哪些方法？
（3）本節課蘊含哪些數學思想？
（4）通過本節課的學習，你還存在哪些疑惑？
師生活動：教師引導學生從知識—方法—思想的角度，層層深入，梳理本節課的內容．
【設計意圖】教師引導學生歸納本節課的知識要點和思想方法，使學生對本節課的學習有一個較為整體、全面認識，同時，使學生養成良好的學習習慣．
（六）布置作業
1．已知直線與圓心在原點的圓相切，求圓的方程．
【設計意圖】通過直線與圓的位置關系，求圓的方程，幫助學生運用逆向思維來解決問題，同時達到掌握本節課知識的目的．
2．一個小島的周圍有環島暗礁，暗礁分布在以小島的中心為圓心，半徑為30km的圓形區域．已知小島中心位于輪船正西70km處，港口位于小島中心正北40km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？ 
【設計意圖】通過實際問題的設計，可以讓學生知道本節課的學習在實際生活中的應用，同時為后續的學習奠定一定的基礎．
3．（選做題）已知直線和圓：，
（1）請你具體給出、的一組值，使直線和圓相切；
 （2）當直線與圓相離時，、應滿足什么關系；
 （3）若，試判斷直線和圓的位置關系．
【設計意圖】通過設計開放性問題，可以調動學生學習的積極性，在掌握知識的同時可以培養學生學習的能力，實現由知識向能力的轉化．設計必做題和選做題，體現了分層教學，同時對學有余力的同學留出自由發展的空間．
 
附：板書設計

板 書 設 計	§4.2.1直線與圓的位置關系（第一課時）
		小結： 1．知識： 2．思想方法：

 
 

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