視頻標(biāo)簽：導(dǎo)數(shù)的概念

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2 1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念-安徽省 - 蕪湖

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教學(xué)目標(biāo)
知識與技能:
(1)通過實(shí)例的分析,理解平均變化率、瞬時(shí)變化率的概念;了解平均變化率與瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系;會(huì)用瞬時(shí)變化率求解導(dǎo)數(shù)的值;
(2)通過導(dǎo)數(shù)概念的形成過程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及內(nèi)涵;
(3)通過觀察和動(dòng)手實(shí)踐培養(yǎng)學(xué)生的分析、比較和歸納的能力,并感悟到極限思想.
過程與方法:
(1)通過問題的探究,體會(huì)逼近、類比、以已知求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法;
(2)通過問題的探究,培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和探究方法.
情感、態(tài)度與價(jià)值觀:
(1)通過導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí),體驗(yàn)和認(rèn)同“有限和無限對立統(tǒng)一”的辯證觀點(diǎn),接受用運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義思想處理數(shù)學(xué)問題的方法;
(2)通過了解導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的歷史及它在實(shí)際生活、生產(chǎn)和科研中的廣泛應(yīng)用及巨大作用,認(rèn)識學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的必要性,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的興趣.
2學(xué)情分析
本節(jié)課的授課對象是理科實(shí)驗(yàn)班學(xué)生,學(xué)生已較好地掌握了函數(shù)的知識,又學(xué)過了直線的方程,并積累了一定的關(guān)于函數(shù)變化率的經(jīng)驗(yàn);另外,學(xué)生思維較活躍,對數(shù)學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí),有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性,這為本課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).但導(dǎo)數(shù)概念建立在極限基礎(chǔ)之上,超乎學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn),抽象度高;再者,本課內(nèi)容思維量大,對類比歸納,抽象概括,聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力有較高的要求,學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度.本節(jié)課旨在提升學(xué)生的思維能力,讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)的概念,并根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況做一定的深入探究。
3重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):導(dǎo)數(shù)概念的形成過程及導(dǎo)數(shù)概念的內(nèi)涵.
教學(xué)難點(diǎn):對導(dǎo)數(shù)概念的理解.
4教學(xué)過程
4.1第一學(xué)時(shí)
4.1.1教學(xué)活動(dòng)
活動(dòng)1【導(dǎo)入】創(chuàng)設(shè)情境
1、回憶物理中學(xué)習(xí)過的打點(diǎn)計(jì)時(shí)器是怎么測量速度的——以較小時(shí)間范圍內(nèi)的平均速度代替瞬時(shí)速度.
回憶平均變化率的概念與公式.
2、播放10m跳臺跳水錄像片段.
3、奇怪的平均速度:
在10米高臺跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系:
.
計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在 這段時(shí)間里的平均速度.
思考下面的問題:
(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?
(2)運(yùn)動(dòng)員在 時(shí),速度為0嗎?
(3)用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎?
直觀的展示該函數(shù)的圖象同時(shí)從物理角度解釋.
 
以學(xué)生所了解的打點(diǎn)計(jì)時(shí)器、高臺跳水開題,引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
 
新問題:平均速度為“0”?
 

 
引起學(xué)生的興趣. 讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂,激發(fā)學(xué)生求知欲.
 
教師引導(dǎo)學(xué)生回憶打點(diǎn)計(jì)時(shí)器的工作原理,體會(huì)平均速度與瞬時(shí)速度.
 
 
 
教師引導(dǎo)學(xué)生觀看跳水的軌跡及速度變化.
 
 
  
教師拋出三個(gè)思考題.
一學(xué)生答題,其他學(xué)生補(bǔ)充;
 
 
教師總結(jié). 引入新課.
 
活動(dòng)2【講授】引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)
 
在跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不能反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài),需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài).我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.
知道了瞬時(shí)速度的概念,那么在高臺跳水運(yùn)動(dòng)中,如何求(比如,t=2)運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度?
幾何畫板簡單地直觀展示,再做代數(shù)推導(dǎo).
不妨先考察t=2附近的情況,可以分為t=2之前或者之后的區(qū)間,記作[2+ ,2] 、[2,2+ ]
>0時(shí),在2s到(2+Δt)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度
 
 
培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和探究方法,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力.
教師利用幾何畫板就行直觀展示,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題.
 
 
教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用平均變化率公式計(jì)算平均速度
<0時(shí),在(2+ )s 到2s這段時(shí)間內(nèi)平均速度
 

 
 
圖表展示隨著△t越來越趨向于0
平均速度的變化.
思考:當(dāng) 趨近于0時(shí),平均速度 有什么樣的變化趨勢?
結(jié)論:當(dāng) 趨近于0時(shí),即無論 從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時(shí),平均速度 都趨近于一個(gè)確定的值 .
從物理的角度看,時(shí)間 間隔無限變小時(shí),平均速度 就無限趨近于瞬時(shí)速度,因此,運(yùn)動(dòng)員在 時(shí)的瞬時(shí)速度是
為了表述方便,我們用
表示“當(dāng) , 趨近于0時(shí),平均速度 趨近于定值 ”
小結(jié):局部以勻速代替變速,以平均速度代替瞬時(shí)速度,然后通過取極限,從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值.
進(jìn)而思考:
1.運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻 t0 的瞬時(shí)速度怎樣表示?
2.函數(shù) 在 處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?
 
 
 
感受變化,動(dòng)手探究.
 
 
 
借助直觀的數(shù)據(jù),歸納、探求導(dǎo)數(shù)的概念.
 

 
培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和探究方法,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力
 
 
 
培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的推理能力和思維能力.
 
 
 
 
掃清了學(xué)生的思維障礙,更好地突破了教學(xué)的重難點(diǎn),體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡約美.
 
 
 
 
 
 
 
教師講解數(shù)據(jù)的變化. 教師引導(dǎo)學(xué)生完成某時(shí)刻的瞬時(shí)速度的表示的推導(dǎo)
 

 
 
 
教師講解,分析
 
 
 
 
 
 
 
 
全體同學(xué)筆練,一學(xué)生回答.教師講解.
 
 
 
 
 
 
 
活動(dòng)3【講授】定義理解
、定義:
 
 
我們稱它為函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù),記作 或 ,即
                
定義剖析:
(1) 與 的值有關(guān), 不同,     其導(dǎo)數(shù)值一般也不同.
(2)瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)是同一概念的兩個(gè)名稱.
(3)導(dǎo)數(shù)是研究點(diǎn) 處及其附近函數(shù)的改變量 與自變量的改變量 之比的極限,它是一個(gè)局部性的概念,若          在存在且為一個(gè)定數(shù),則函數(shù) 在 處有導(dǎo)數(shù),否則就沒有.
 
2、求導(dǎo)步驟.
(1)求增量:
(2)求比值:
(3)求極限:
注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù).自變量的增量 的形式是多樣的,但不論 選擇         哪種形式, 也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.
思考:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn) 處可導(dǎo),
 
                       ?
 
                       ?
 
 
 
水到渠成,揭示本質(zhì).
 
 
 
 
結(jié)合具體問題的實(shí)際意義,抽象出導(dǎo)數(shù)的概念.
 
 
 
由淺入深、由易到難、由特殊到一般,完成思維的飛躍.
 

提高學(xué)生對導(dǎo)數(shù)求解公式的認(rèn)識和思辨能力.
 
教師展示課件,板書、講解要點(diǎn):
瞬時(shí)變化率即導(dǎo)數(shù)的概念.
 

 
 
師生共同回憶、歸納求導(dǎo)的步驟,教師板書主要步驟.
 
 
學(xué)生討論、動(dòng)手操作完成
活動(dòng)4【導(dǎo)入】簡介背景
簡介導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的歷史背景.
兩類問題直接導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生:一是根據(jù)物體的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求速度與加速度,二是求已知曲線的切線.
導(dǎo)數(shù)是微積分的一部分,微積分的奠基人是牛頓和萊布尼茲,他們分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)角度的來研究微積分.微積分
成為十七世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).
感受導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用,了解微積分的文化價(jià)值.
 
教師簡單介紹導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景及生活生產(chǎn)中的作用.
 
活動(dòng)5【活動(dòng)】講解例題
例題:將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱,如果第 時(shí),原油的溫度(單位: )為 ,計(jì)算第 時(shí)和第 時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它們的意義.
 
強(qiáng)調(diào)求導(dǎo)數(shù)的基本步驟,鞏固導(dǎo)數(shù)的概念.
 
教師示范“2h”時(shí)的解題過程.
 
 
全體同學(xué)筆練求“6h”.
 
 
 
活動(dòng)6【練習(xí)】自主探究
 
 
提高學(xué)生應(yīng)用知識、動(dòng)手操作、解決問題的能力.
 
 
 
 
 
深化思維能力,提高數(shù)學(xué)興趣.
 
 
教師引導(dǎo)學(xué)生思考,分情況討論,再按照導(dǎo)數(shù)的定義解釋是否有導(dǎo)數(shù).
 
已學(xué)知識的練習(xí)使用.
 
 
請學(xué)生思考,課上或課下嘗試完成.
 
 
 
活動(dòng)7【活動(dòng)】歸納小結(jié)
1、瞬時(shí)速度的定義
2.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)的定義
3.求導(dǎo)數(shù)的步驟
 
重點(diǎn)知識回顧
師生共同總結(jié)
歸納已學(xué)知識
活動(dòng)8【作業(yè)】布置作業(yè)
 
必做題:
1、課本習(xí)題1.1A組  3,4
2、預(yù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義
選做題:
探索完成:
 
 
 
 
課后作業(yè)
鞏固知識
 

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