視頻標簽：拋物線及其標準方程

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視頻課題：人教版新教材選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標準方程（王芳芳）

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人教版新教材選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標準方程（王芳芳）

人教A版普通高中課程標準實驗教科書選擇性必修第一冊
 
 
§3．3．1 拋物線及其標準方程

 
教學目標：
1.理解拋物線的定義，掌握拋物線的標準方程及其推導。
2.明確拋物線標準方程中P的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標準方程問題。
3.通過對拋物線和橢圓、雙曲線離心率的比較，體會三種圓錐曲線內在的區別和聯系。
4.用運動變化的觀點發現問題、探索問題、解決問題，體會數學的簡捷美、和諧美。
教學重點: 
1.掌握拋物線的定義與相關概念；
2.掌握拋物線的標準方程；
教學難點:從拋物線的畫法中抽象概括出拋物線的定義.

• 課堂導入

請同學們觀察兩張圖片：第一張是美國最高的獨自挺立的紀念碑；第二張是投籃時籃球的運行軌跡，生活中的這些圖片像我們數學中的哪種圖形？
同學們自然會想到是拋物線，這就是我們這節課要研究的課題《拋物線及其標準方程》。

• 拋物線的定義

我們在課本113頁學習過例6，問題1：動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數，求動點的軌跡。（圖片展示以前學生的解題過程）
我們在課本125頁學習過例5，問題:2：動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數，求動點的軌跡。（圖片展示以前學生的解題過程）
常數是時軌跡是橢圓，常數是時軌跡是雙曲線，這是特殊的點和特殊的直線，后來我們又研究了如果動點與定點的距離和到定直線(不過點 ） 的距離的比是常數，當時，點的軌跡為橢圓；當時，點的軌跡為雙曲線。一個自然的問題是：當時，即動點到定點的距離與它到定直線的距離相等時，點的軌跡會是什么形狀？
問題3  動點M(x，y）到定點F（0，1）的距離和到定直線l：y=-1的距離相等，求動點M的軌跡方程
這是開口向上的二次函數，圖形的形狀是拋物線，這還是特殊的點和特殊的定直線，如果我們在平面內任作一條定直線，任取一個定點（定點不在定直線上），滿足條件的點的軌跡是什么呢？下面我們試著找找

1. 拋物線的畫法

教師在黑板上作出一條定直線和一個定點（定點不在定直線上），過作直線的垂線，垂足，的中點就是我們找到的第一個點，在上任取點，過作直線的垂線，連接,作線段的垂直平分線交于,點就是滿足條件的第二個點，同理，我們在找到第三個點，然后用平滑的曲線連起這三個點，就會發現圖形像拋物線。
接下來，接著幾何畫板多做幾個點：點F是定點，L是不經過點F的定直線，H是L上任意一點，過點H作MH垂直于L,線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，點隨之運動，點的軌跡還是拋物線。
問題4：請同學們思考：在運動的過程中，拋物線上的點始終有什么特點，為什么？
M不管運動到哪里，都有MH=MF，因為M始終在HF的垂直平分線上，MH是什么距離，MF是什么距離，所以說，拋物線上的點M到定點F和定直線L的距離相等。
2.拋物線的定義
請同學們抽象概括出拋物線的定義：
平面內與一個定點和一條定直線（不過）的距離相等的點的集合叫作拋物線.
注意：①平面內（圖片展示沒有“平面內”得到的幾何體）
②當直線過點時，動點的軌跡是過點且與垂直的直線
完成練習：
(1）平面內到直線x=2的距離和到定點P（-2，0）的距離相等的點的軌跡是（）
A.橢圓  B.拋物線  C.直線  D.雙曲線
（2）平面內到點A（2，3）和直線l：x+2y-8=0距離相等的點的軌跡（）
A.直線  B.拋物線  C.橢圓  D.圓
（3）拋物線上的點到焦點的距離為2，到準線的距離是_____.
教師再次強調：拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離相等。
 
三．拋物線的標準方程
我們在前面過求曲線方程時學習過一種方法是直接法:即建系、設點、列方程、化簡、檢驗；那么我們如何建立坐標系才有可能使得所求拋物線方程形式更簡潔？
1.學生分組討論，教師參與學生的討論過程，最后教師在黑板上作出學生的討論結果（由學生代表回答建系過程），這樣得到幾種建系方法。
不妨設點到直線的距離為，在不同的坐標系下，就可以寫出的坐標和直線的方程，由拋物線的定義列出方程，再化簡結果，還是學生分組完成，請一個學生板書（過且與直線垂直的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系）這個坐標系下的推導過程，將不同坐標系下求得的方程寫到黑板上，很容易比較出哪個方程更簡潔

3.完成表格
讓同學們轉動練習本，我們發現拋物線的開口還可以向左，向上，向下；向左時與向右比較，軸不變，軸方向反了，對應到方程上，不變，變為，同理得出其他開口的標準方程，請同學們完成表格

圖形	標準方程	焦點坐標	準線方程

規律：①是焦點到準線的距離;
②拋物線標準方程，左邊為二次，右邊為一次。若一次項是x，則焦點在x軸上；若一次項是y,則焦點在y軸上；（焦點看一次項。）
③標準方程中一次項前面的系數為正數，則開口方向為坐標軸正方向，若一次項前面的系數為負數，則開口方向為坐標軸負方向，（符號決定開口方向）
完成練習：判斷下列拋物線的開口方向，并求出焦點坐標和準線方程
                          
                           
跟蹤訓練：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程

1. 
2. 

思考：函數的圖象是什么？焦點坐標和準線方程呢？
四．典例
求滿足下列條件的拋物線方程

1. 已知拋物線的焦點坐標是
2. 已知拋物線的準線方程是
3. 已知焦點到準線的距離是2

再回到問題3：動點M(x，y）到定點F（0，1）的距離和到定直線l：y=-1的距離相等，求動點M的軌跡方程
我們剛才是用直接法求得的軌跡方程，現在我們利用剛剛學習的知識再解決這個問題
 

• 課堂小結

1. 這節課我們主要學了哪些知識？
2. 體現了哪些數學方法？
3. 你們有哪些感悟？
4. 你們還有哪些疑惑？

• 布置作業

1.課后練習133頁
2.習題3.3第1題，第2題
 

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