視頻標(biāo)簽：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

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視頻課題：人教版新教材選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（祝）

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人教版新教材選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（祝紅梅）

  教學(xué)設(shè)計：
引導(dǎo)語：通過前面的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)，如果動點M到定點F的距離與M到定直線l（不過點F）的距離之比為k，當(dāng)0<k<1時，點M的軌跡為橢圓；當(dāng)k>1時，點M的軌跡為雙曲線。一個自然的問題是：當(dāng)k=1時，點M的軌跡會是什么形狀？下面我們就來研究這個問題。
1.拋物線概念的獲得
問題1：利用信息技術(shù)作圖。如圖1，F(xiàn)是定點，l是不經(jīng)過點F的定直線。H時直線l上任意一點，過點H作MH⊥l,線段FH的垂直平分線m交MH與點M。拖動點H，觀察點M的軌跡，在你熟悉的圖形中有于此類似的嗎？你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？。
圖1
師生活動：教師出示問題1，引導(dǎo)學(xué)生分析問題中的幾何元素以及相互關(guān)系，并利用信息技術(shù)工具進(jìn)行操作，拖動點H，觀察點M的軌跡及相關(guān)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。
追問：(1) 動點M是如何獲得的？
（2）在M運動的過程中哪些是不動的？
（3）在M運動的過程中和M相關(guān)哪些量是變化的，哪些關(guān)系是不變的？
師生活動：三個追問是讓學(xué)生在利用信息技術(shù)工具操作的過程中從思維層面問題1進(jìn)行分析。
對于追問（1），學(xué)生分析與點M相關(guān)的點與直線，發(fā)現(xiàn)點M是定直線l的垂線MH與線段FH的垂直平分線m的交點，其中點H在直線l上運動，隨之產(chǎn)生了動點M。
對于追問（2），學(xué)生分析出定點F和定直線l,而不僅僅是點F和直線l,只有這樣，學(xué)生的思維活動才能聚焦到確定拋物線的幾何特征上來。
對于追問（3），學(xué)生應(yīng)在分析前兩個追問的基礎(chǔ)上梳理變化的量及其不變的量，可以發(fā)現(xiàn)FM和MH的大小隨點M的變化而變化，但是始終有∣FM∣=∣MH∣。
在上述基礎(chǔ)上，出拋物線的概念。
設(shè)計意圖：通過對問題1的探究及其三個追問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)確定拋物線的幾何要素，認(rèn)識拋物線的幾何特征，抽象得出拋物線的概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2. 建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

問題2：觀察圖1中的拋物線，如何選擇坐標(biāo)系可能使所求拋物線的方程形式簡單？
師生活動：學(xué)生觀察拋物線形狀，教師引導(dǎo)學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)拋物線的對稱性，建立平面直角坐標(biāo)系，自主推導(dǎo)拋物線的方程。一般來說，會有以下三種情況。（圖2）
 
展示學(xué)生所求的三種不同形式的拋物線方程。
追問：（1）類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，每個方程的推導(dǎo)過程是否滿足拋物線上點的坐標(biāo)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系？

1. 三種不同形式的拋物線方程哪個更簡單？為什么？

師生活動：當(dāng)學(xué)生思考問題2時，一般會出現(xiàn)將坐標(biāo)系的原點選在定點F、線段FK的中點、定直線l上三種情況。無論是哪一種情況,追問（1）是必不可少的步驟，也容易被學(xué)生忽略。當(dāng)學(xué)生分別得到自己推出的方程后，教師提出追問（2），要求學(xué)生對它們進(jìn)行比較，已確定哪個方程更適合作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
在學(xué)生充分思考與推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，對比分析三種不同形式的拋物線方程及其聯(lián)系，由學(xué)生確定將y²=2px（p>0）作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,同時寫出其焦點坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程。
設(shè)計意圖：通過問題2及其兩個追問，注重學(xué)生思維的發(fā)生點，讓學(xué)生類比橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，自主推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，體驗類比方法，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。
問題3：在平面直角坐標(biāo)系中，類比橢圓、雙曲線，怎樣求不同開口方向的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？
師生活動：在已獲得拋物線的方程y²=2px（p>0）的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式，再分別獲得開口向左、上、下的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定相應(yīng)的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，并將結(jié)論填寫在下面的表中。
追問：（1）只研究表中四種形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程基于怎樣的思考？
師生活動：對于追問（1），學(xué)生類比橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并根據(jù)拋物線只有一個焦點，按焦點所在坐標(biāo)軸的位置能推斷出表中其他三種情況。
設(shè)計意圖：通過問題三及其追問，類比橢圓與雙曲線不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用表格的形式呈現(xiàn)拋物線不同形式（焦點位置的不同）的標(biāo)準(zhǔn)方程。

3. 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的鞏固與運用

例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=6x，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。
（2）已知拋物線的方程是y=6x²,求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

1. 已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F（0.-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

師生活動：學(xué)生根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線焦點坐標(biāo)，求其標(biāo)準(zhǔn)方程。
設(shè)計意圖：無論是由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，還是由拋物線焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程求其標(biāo)準(zhǔn)方程，正確認(rèn)識拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及方程中P的意義都非常關(guān)鍵。P是拋物線的唯一特征量，決定拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。通過例1強化學(xué)生對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程、P、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程的認(rèn)識。
跟蹤訓(xùn)練：（1）拋物線4x²+3y=0的焦點坐標(biāo)為     ，準(zhǔn)線方程為    。

1. 已知焦點到準(zhǔn)線的距離是5求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2. 拋物線y²=8x上與焦點的距離等于6的點的坐標(biāo)為    。

設(shè)計意圖：鞏固拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程。
     思考：你能說明二次函數(shù)y=ax²（a≠0）的圖像為什么是拋物線嗎？指出它的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程。
     師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析，選擇將y=ax²變形為x²=y求焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程。
  設(shè)計意圖：進(jìn)一步鞏固拋物線的標(biāo)椎方程。

4. 小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，包括知識層面、方法層面。

1. 知識層面包括拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
2. 方法層面包括數(shù)形結(jié)合的思想，類比的方法。

5. 達(dá)標(biāo)檢測

1.若動點P到定點F（-4,0）的距離與到直線x=4的距離相等，則P點的軌跡是                                                                                    (      )
   A.拋物線                                 B.線段
   C.直線                                     D.射線
設(shè)計意圖：考察學(xué)生對拋物線定義的掌握。
2.已知動點P到定點（0,2）的距離和它到直線l：y=2的距離相等，則點P的軌跡方程為                                                                 （    ）
   A.拋物線                                 B.線段
   C.直線                                     D.射線
設(shè)計意圖：考察學(xué)生對拋物線定義的掌握。

3. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程 是x = -2，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

設(shè)計意圖：考察學(xué)生由已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

4. 已知拋物線的方程2y²-5x=0，求焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

設(shè)計意圖：考查學(xué)生將方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后運用標(biāo)準(zhǔn)方程獲得焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程。
 
 
 
 
 

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