視頻標簽：拋物線及其標準方程

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視頻課題：信息素養提升實踐融合創新應用教學案例（安徽）高中數學選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標準方程

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高中數學選擇性必修第一冊3.3.1拋物線及其標準方程

高中數學  人民教育出版社   選擇性必修第一冊  第三章 
3.3.1拋物線及其標準方程   教學設計
一、教材分析
本節課是新版教材人教版普通高中課程標準普通高中教科書，數學選擇性必修第一冊第三章第3節《拋物線》第1課時，從內容上看它是我們前兩節橢圓和雙曲線學習的延續，也是對初中學習拋物線的一種延申，這樣可以分散難點，符合學生的認知規律。本節課通過課本中橢圓和雙曲線章節已學過的例題，呈現出曲線上的點滿足的一個幾何性質出發，畫出圖象，再從圖象上的點滿足的幾何特征總結歸納出拋物線的定義，類比橢圓和雙曲線，推導拋物線的標準方程，領會研究學習圓錐曲線的一般方法，同時本節課在整章中占有前后呼應的地位，為圓錐曲線的學習起到了積極的作用.
二、教學目標與核心素養

1. 課程目標：

（1）理解并掌握拋物線的畫法；
（2）理解并掌握拋物線的定義，掌握拋物線標準方程的推導過程;
（3）理解并掌握標準方程、焦點坐標、準線方程間的關系；
（4）探究掌握四種不同開口拋物線的標準方程及焦點坐標和準線方程；
（5）培養勇于探索的精神，體會由特殊到一般的研究方法，發展數學核心素養.
2.核心素養

1. 數學抽象：定義的歸納；
2. 邏輯推理：標準方程的推導；
3. 數學運算：標準方程、焦點坐標、準線方程的求解；
4. 直觀想象：四種不同開口拋物線的標準方程；

（5） 數學建模：將生活科技中的數學問題抽象成數學模型進行分析求解.
 
三、教學重難點
重點：拋物線圖象的形成過程，拋物線的定義及標準方程；
難點：四種不同拋物線的標準方程及焦點坐標和準線方程的求解；
 
四、課前準備：多媒體、數學實驗軟件
 
五、教學過程設計
 
（一）復習回顧
引導語：在學習本節課之前，先來回顧課本第113頁和125頁的兩道例題，如下所示：


師生活動：根據之前的學習，我們知道定值k為圓錐曲線的離心率，對于例題中動點具有的幾何性質，我們可以總結如下：

動點M到定點F的距離與M到定直線 （不過點F）的距離之比為		橢圓
		雙曲線
		？

很自然可以想到，k=1時，動點的軌跡會是什么曲線？
設計意圖：通過溫故知新，通過課本例題，提出問題，這樣可以讓學生回歸課本，更加凸顯課本內容的重要性，讓學生能真實的感受到對所學知識的總結和探究，培養和發展了同學們數學抽象的核心素養，激發了同學們探究的興趣.
 
（二）探究新知
 
1.創設問題情景
例：水田邊上有一條小河（可近似看成一條直線）和一口水井，稻農可以選擇在小河里或者水井里取水灌溉，那么該如何選擇，才可以更加方便呢？
 
師生活動：教師提出問題，小組討論，教師提問，同學們回答并補充.
追問1：根據生活經驗，稻農該怎么選擇？
追問2：請你借用數學知識，幫稻農選擇？
 
師生活動：對于追問1，學生根據生活經驗可以回答，哪里近就選擇哪里.對于追問2，學生能根據以前學習的知識，回答出尋找臨界點，即找到分界線.
教師肯定兩位同學的回答，對于追問2，教師要引導學生說出距離相等與分界線兩個關鍵詞。
 
設計意圖：讓學生感受到人類利用數學知識去解決生活中問題，體會人類智慧無處不在；作為學生，我們應該學會利用所學知識去服務社會，服務人類；同樣本例的2個追問的設計主要是引導同學們去找分界線，這樣可以與后面畫拋物線圖象呼應，提前形成“形”的意識，發展學生的數學抽象素養.
 
2.實驗探究
探究1  利用信息技術作圖，如圖， 是定點， 是不經過點 的定直線， 是動點，過點 作 ，垂足為 ，連接 , 希望得到 ，我們該怎么確定這樣 點的位置呢？
 

師生活動：提問學生，要想找到符合條件的M點，你有什么想法，并請學生利用信息技術展示實驗探究成果；為了讓學生能更好的探究，設置了7個追問.


設計意圖：讓同學們參與實驗探究過程，充分掌握并理解拋物線圖象的生成過程，通過7個追問，引導學生發現拋物線上動點滿足的幾何特征，能夠抽象出拋物線的定義，同時也提升了學生的實驗操作能力及探究精神，發展了學生的數學抽象素養.
 
3.定義形成

師生活動：提問同學，根據剛剛圖象的生成過程及動點M滿足的幾何特征，你能概括出拋物線的定義嗎？
引導學生回答出在平面內，到定點與到定直線距離相等的點的軌跡就叫做拋物線.教師充分肯定，同時也提出不足，對于點F不在定直線 上限制條件的說明不能遺漏；教師要引導同學探究特殊情況，動點M的軌跡是什么呢？
 
設計意圖：通過之前對數學實驗探究的理解，能根據M點滿足的幾何特征，抽象得出拋物線的概念，提升了學生識圖，歸納的能力，發展了學生的數學抽象素養.對概念中特殊情況的討論，體現了數學的嚴謹性，發展了學生的邏輯推理素養.
（三）標準方程的推導
1．師生活動：同學們回顧求曲線方程的步驟（1）建系（2）設點（3）列式（4）化簡（5）檢驗
提出問題：觀察圖象，該如何建立直角坐標系呢？

學生觀察拋物線的圖象，教師引導學生直觀發現拋物線的對稱性，建立平面直角坐標系，自主推導拋物線的方程.
展示各小組的結果，一般來說，會有三種情況，
                
         
追問1: 比較橢圓、雙曲線標準方程的建立過程，你認為如何建立坐標系，
能使所求拋物線的方程形式簡單？
追問2：三種不同形式的拋物線方程是否有聯系？
師生活動：學生在思考追問1時肯定會選擇第三種建立直角坐標系的方法，
此時教師追問2，從聯系的角度讓學生思考三種不同形式拋物線方程可以通過平移變換互化.選定第三種建立直角坐標系的方法，展示學生的推導過程，重點評析求曲線方程的第5步檢驗環節.
設計意圖：通過學生小組不同探究結果比較，培養學生的發散思維；展示不
同小組的成果，肯定各個小組的探究過程，體驗類比方法，提升學生的數學運算素養.
探究2  在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選擇不同的坐標系我們得到了不
同形式的標準方程.拋物線的標準方程有哪些不同的形式？請大家完成課本131頁的表格.
師生活動：教師指導各小組探究并展示小組結果.
  
追問1：標準方程有什么特征？
追問2：開口方向與方程有什么關系？
追問3：標準方程、焦點坐標、準線方程都含有什么共同的參數？
 
師生活動：對于追問1，學生通過比較、歸納各個方程的特征，能準確回答出等式左邊都是二次項，右邊都是一次項；對于追問2，教師引導學生從焦點的位置去確定開口的位置，進而得到一次項定焦點，一次項系數正負定方向的規律；對追問3的回答，主要是讓學生明確 是拋物線方程的唯一特征量.
設計意圖：通過探究2和三個追問，類比橢圓與雙曲線不同形式的標準方程，利用表格形式呈現拋物線不同形式（焦點位置不同）的標準方程.
 
思考2：你能說明二次函數 的圖象為什么是拋物線嗎？指出它的焦點坐標、準線方程.
師生活動：教師指導學生利用剛剛所學知識思考回答，一般情況會有兩種想法，一種是通過定義證明，另一種是通過標準方程角度分析.
教師可以引導學生從拋物線的標準方程分析，將 變形為 ,然后求焦點坐標、準線方程.再次回來帶著學生利用找到的定點和定直線用定義去證明.
設計意圖：讓學生親自去解決可能的疑惑——初中的二次函數圖象和高中所學的拋物線是否一致，提升了學生的邏輯推理和數學運算的核心素養.
 
（四）運用：
例1：（1）已知拋物線的標準方程是 ,求它的焦點坐標和準線方程；
（2）已知拋物線的焦點是 ,求它的標準方程.
 
師生活動：提問：拋物線的焦點坐標、準線方程由什么決定？           
教師引導學生從（1）焦點的位置，（2）𝑝的值，去回答問題，明確先定位再定量.教師在黑板上書寫標準解答過程.
 
練習：完成課本133頁練習1并展示學生的解題過程.
設計意圖：無論是由拋物線的標準方程求其焦點坐標和準線方程，還是由拋物線的焦點坐標或者準線方程求其標準方程，正確認識拋物線的標準方程以及方程中 的意義都非常關鍵. 是拋物線的唯一特征量，決定拋物線的焦點坐標和準線方程.通過例1和練習強化學生對拋物線標準方程、 、焦點坐標以及準線方程的認識.
 
例2：一種衛星接收天線如圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，如圖（1）.已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為1m.試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標.
.  
師生活動：教師引領學生讀懂題意，啟發學生從給出的實物圖中抽象出數學圖形，建立如圖（2）所示的坐標系，用待定系數法求解.
設計意圖：讓學生運用拋物線及其標準方程來解決實際問題，經歷將實際問題轉化為數學問題，解決數學問題，進而解決實際問題的過程.
（五）課堂小結：
教師引導學生帶著下列問題回顧本節課所學知識和學習過程以及數學方法,

1. 拋物線的幾何特征是什么？
2. 拋物線的圖象是怎么生成的？
3. 拋物線的標準方程是如何獲得的？
4. 拋物線的標準方程有哪些不同的形式？
5. 學習過程中運用到了哪些數學方法？

設計意圖：讓學生梳理數學知識、感悟數學思想、體會數學研究方法.
 
（六）作業布置：課本138頁，復習鞏固第1、2、4題，拓廣探索第13題.
（七）目標檢測設計：完成課本133頁練習2，練習3.
設計意圖：考查學生靈活運用拋物線標準方程及其幾何特征解決問題,強化拋物線的定義，唯一特征量 值的意義.
 
 
 
 

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