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視頻標簽：函數概念,發展史
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：人教A版高中數學必修一第一章《函數概念的發展史》河南省實驗中學
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《函數概念的發展史》教學設計
一、教材分析
函數是數學學習的重點和難點，函數的思想貫穿整個數學學習。本節課是人教版必修一第一章集合與函數概念中的實習作業。學生在已掌握了函數的定義、性質和簡單的指數運算的基礎上，進一步引發學生思考：在數學、物理和其他學科中，函數關系隨處可見，那么函數概念是怎樣發展的？本節課十分重要，為后續函數的學習起到承上啟下的引領作用。 二、學情分析
在初中所學的基本初等函數的基礎上，通過前幾節課對函數的定義的更詳細了解，學生對函數有了一定的理解，已初步能用函數的觀點分析問題、解決問題。從而激起了學生探究函數概念的發展史的熱情。 三、教學目標
知識目標：熟悉函數概念的發展史；掌握函數概念的發展脈絡
能力目標：通過教學培養學生分析、歸納等思維能力，進一步提高孩子提出問題，探究問題，解決問題的能力，從而獲得解決問題的最佳方案。
情感目標：通過探究學習，使學生學會認識事物的發展脈絡，并養成合作交流、獨立思考、理論聯系實際的習慣，激發學生學習數學的興趣，樹立學習數學的信心。
四、教學重點、難點
重點：函數概念的發展歷程
難點：如何準確地探究出函數概念的發展歷程 五、教學方法
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引導，觀察，歸納，啟發，探究，比較。
六、教學活動
（一）創設情境，導入新課
師：同學們，我們都知道聲音是物體震動產生的波，那么聲音產生的波到底是什么樣子的呢？有沒有哪個儀器可以將這個波形圖顯示出來呢？答案當然是肯定的(教師手指向講桌旁邊的儀器)。這個儀器叫示波器，它的功能就是可以將各種聲音的波形圖在它前面的屏幕上顯示出來。同學們想不想知道歌聲，吉他聲在示波器上顯示的是什么樣的圖像？
生：想(孩子們的好奇心已經完全被調動出來)
師：好，下面帶著這個問題我們有請黃之鶴，張靖輝，孫樂怡給我們帶來精彩的吉他彈唱《小幸運》
待學生欣賞完后，找學生回答看到的是什么圖象，之后總結出這就是后續我們要學習的正弦函數的圖象。函數圖象應用很廣，函數概念由來已久，下面就由老師和同學們一塊來追溯一下函數概念發展的歷史。從而引出新課。
設計意圖：示波器是很多孩子沒有接觸過的，能夠培養學生的學習興趣、好奇心與探索精神，引導學生知道函數的應用極為廣泛。讓學生在觀察，欣賞過程中，得到美的享受。從而水到渠成地跟隨教師步入新課，構建和諧的愉快的課堂氛圍。 （二）新課講授
師：下面給同學3分鐘的時間，用課前同學們收集的資料，來查找下面兩個問題：1.在函數概念的發展史上有哪些科學家做出了突出貢獻？2.函數概念的發展經歷了哪些歷程？
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生：有伽利略和笛卡爾，萊布尼茨，約翰伯努力，歐拉，柯西，狄利克雷，奧斯瓦爾德維布倫.
師：第二個問題：函數概念的發展經歷了哪些歷程？首先由老師來拋磚引玉，17世紀，伽利略在《兩門新科學》一書中，以及笛卡爾在他的解析幾何中，都注意到變量之間的依賴關系，但尚未意識到提煉出函數的概念。接下來的萊布尼茨時代到來了，萊布尼茨做了什么呢？
生：最早提出函數（function）概念的，是17世紀德國數學家萊布尼茨．最初萊布尼茨用“函數”一詞表示冪．以后，他又用函數表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標．
師：萊布尼茨對函數概念的發展最核心的理念是什么？ 生：：最早提出函數（function）概念的.
師：緊接著約翰伯努力對函數概念的發展做了什么突出的貢獻？ 生：1718年，萊布尼茨的學生瑞士數學家約翰伯努利把函數定義為：
“由變量和常量構成的式子都叫函數．”
師：約翰伯努力是怎樣定義函數的？ 生：由變量和常量構成的式子叫函數.
師：約翰伯努力是萊布尼茨的學生，青出于藍而勝于藍。接下來歐
拉來了，歐拉對函數概念的發展起了什么樣的作用？
生：1755年，瑞士數學家歐拉把函數定義為：“如果某些變量，以
某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數．”在歐拉的定義中，
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就不強調函數要用式子表示了，由于函數不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標系的曲線也叫函數，他認為：“函數是隨意畫出的一條曲線．”
師：在當時，歐拉的突出貢獻是什么呢？ 生：不強調函數要用式子表示.
師：說到曲線，有一個關于笛卡爾的凄美的愛情故事，找了解的孩
子給同學們講述一下這個故事.
生：講述笛卡爾心形線的故事。
師：給孩子們展示用幾何畫板畫心形線的步驟，激發孩子學習數學
學習函數的熱情。緊接著柯西出現了，柯西對函數概念的發展起了怎樣推波助瀾的作用？
生：1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義：
“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數．”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞．
師：在當時，柯西的最大的貢獻是什么呢？ 生：首先出現了自變量一詞．
師：狄利克雷來了，他給我們帶來了什么？
生：1837年，德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立與之間的對應關
系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，總有一個完全確定的y值與之對應，則y是x的函數”．這個定義抓住了概念的本質屬性，比前面的定義帶有普遍性，因此，這個定義曾被長期使用，這就是人們常說的經典函數定義。
師：狄利克雷抓住了函數概念的什么本質？
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生：如果對于x的每一個值，總有一個完全確定的y值與之對應，
則y是x的函數。
師：后來美國數學家奧斯瓦爾德維布倫用“集合”和“對應”來定義函數概念，只就是現在高中課本里的函數概念了。高中課本里的函數概念是什么樣子的呢？
生：A,B是兩個非空數集，如果按照某種對應法則f,對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有唯一的數與之對應，則稱y=f(x)為集合A到集合B的函數。
師：為了加深同學們對函數概念的理解，我們一起來判斷一下下面哪些是函數？（后面附件）高中函數的概念的關鍵是什么？
生：集合和對應，任一和唯一
師：綜上同學們已經對函數概念發展的脈絡已經很清晰了，下面同學們根據老師的講解，完成手里的實習報告。
師：最后我們以一首詩歌的形式再加深一下函數概念發展的脈絡。希望本節課成為你記憶里的一顆閃耀的星。
七．課堂小結（從學生的知識，方法和體驗入手，帶領學生從以下兩個方面進行小結）
（1）通過本節課的學習，你學到了那些知識？ （2）你又掌握了哪些學習方法？
設計意圖：用兩個問題形式提問學生，教師做適當引導，讓學生自我思考、自我總結，打破傳統的以老師總結為主，學生被動接受的模式，這也是教學改革的一大亮點。
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八．板書設計
函數概念的發展史
（1）意識到變量之間的依賴關系 （2）最早提出函數的概念
（3）有常量和變量組成的式子叫函數 （4）不強調函數要用式子表示 （5）首次出現了自變量一詞 （6）抓住了函數概念的本質 （7）高中課本函數的定義
九、教學反思
本節課我著眼于培養學生自主學習的能力，教學過程中始終體現以學生為中心的教育理念，在學生已有的認知基礎上進行設問和引導，給學生留出足夠的時間探索、交流、討論，教學中做到講練結合，突出學生的主體地位，讓學生體會學習數學的快樂。
視頻來源：優質課網 www.www.fsyixinda.com
