視頻標簽：函數(shù)概念,形成與發(fā)展

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教B版高一數(shù)學(xué)必修一必修一第二章《函數(shù)概念的形成與發(fā)展》大連市第二中學(xué)

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一、【教學(xué)內(nèi)容分析】 
本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)文化課，是依據(jù)人教B版必修一第二章《閱讀與欣賞——函數(shù)概念的形成與發(fā)展》而設(shè)計的。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一條重要主線，它不僅是對集合內(nèi)容的鞏固與發(fā)展，也是日后學(xué)習(xí)方程、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)的重要工具。另外，函數(shù)在日常生活、科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟、物理、計算機等方面都有重要應(yīng)用。 
函數(shù)概念是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要基礎(chǔ)，但高中函數(shù)概念文字表述冗長，抽象程度更高，所涉及的符號多、題型多、考點多，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難點。之所以是難點，其中一個重要的原因就是教材對概念的形成所提供的感性材料不夠充分，形式化的符號表述導(dǎo)致學(xué)生對概念本質(zhì)的理解不夠深入。 
新課標中提出：“數(shù)學(xué)史更多的反映了數(shù)學(xué)的人文價值，而我們的數(shù)學(xué)課程中對數(shù)學(xué)的人文價值的關(guān)注有所欠缺。”因此，本節(jié)課縱觀函數(shù)發(fā)展史，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)從形成到不斷的修正、完善，直至做到更加嚴謹、準確的表達的過程，使學(xué)生對函數(shù)概念的發(fā)展、內(nèi)涵與外延的認識更為深刻，降低函數(shù)概念以及符號的抽象性，從而化解難點。 
二、【學(xué)情分析】 
從學(xué)生知識層面看：學(xué)生在初中初步探討了函數(shù)的相關(guān)知識，因此對初中函數(shù)概念有較好的掌握；通過高一第一章“集合”、第二章“函數(shù)”的學(xué)習(xí)，對集合理論下的函數(shù)概念也有一定的認識，為講述函數(shù)概念的發(fā)展、從根本上揭示函數(shù)的本質(zhì)提供了知識保證。 
從學(xué)生能力層面看：通過以前的學(xué)習(xí)，學(xué)生已有一定的分析、歸納和概括能力，初步具備了學(xué)習(xí)本節(jié)課的基本能力。課上需要學(xué)生從高中函數(shù)概念中提煉函數(shù)概念的本質(zhì)，并且對比初中與高中函數(shù)概念說明高中函數(shù)概念在初中基礎(chǔ)上有何調(diào)整與改進，這都需要學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)抽象思維能力，對學(xué)生提出了較高的要求。 
三、【教法與學(xué)法選擇】 
問題式教學(xué)法：本堂課的主要內(nèi)容是數(shù)學(xué)文化以及函數(shù)概念的辨析,根據(jù)學(xué)生的心理特征和認知規(guī)律，我采取問題式教學(xué)法；以問題串為主線，通過設(shè)置幾個具體問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)各階段函數(shù)概念的局限性，最終形成集合理論下的函數(shù)概念并從中歸納、概括出函數(shù)概念的本質(zhì),這剛好也符合建構(gòu)主義的教學(xué)理論。 
 
 
                    
             
                    
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探究式學(xué)法：新課標要求：“教師要把教學(xué)活動的重心放在促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上。教師教學(xué)方式運用的落腳點最終是提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，自覺發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。”結(jié)合本堂課的特點，我倡導(dǎo)的是探究式學(xué)法。讓學(xué)生在小組探究中,通過老師問題的引導(dǎo)歸納各階段函數(shù)概念的局限性；通過問題的解決，概括出函數(shù)的概念的本質(zhì),從而讓學(xué)生由“被動學(xué)會”變成“主動會學(xué)”。 
四、【教學(xué)目標】 
1) 經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，并能說出幾個關(guān)鍵階段和代表人物； 
2) 了解集合理論下的函數(shù)的關(guān)鍵要素、定義域及對應(yīng)法則 ，掌握符號      的含義，
提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)； 
3) 撰寫小論文，感悟函數(shù)概念形成過程中蘊含的人文精神和科學(xué)精神. 
五、【教學(xué)重點、難點】 
教學(xué)重點：函數(shù)概念的發(fā)展過程 教學(xué)難點：對函數(shù)概念本質(zhì)的理解 
【解決措施】 
本節(jié)課的教學(xué)重點是函數(shù)概念的發(fā)展過程。課前通過設(shè)計一節(jié)微課，詳細講述函數(shù)概念從形成、修成到完善的完整過程，讓學(xué)生觀看微課、提前預(yù)習(xí)。另外，課前導(dǎo)學(xué)案中設(shè)計了四個閱讀材料，分別講述了函數(shù)發(fā)展的不同階段以及各個階段的核心觀點，學(xué)生課前預(yù)習(xí)并做導(dǎo)學(xué)案，可以對函數(shù)概念的發(fā)展過程有大致了解。課上，為了更加生動形象，通過四位同學(xué)角色扮演，帶大家沿著數(shù)學(xué)家的步伐和足跡探尋函數(shù)概念的產(chǎn)生和發(fā)展的全過程。 
本節(jié)課的教學(xué)難點是對函數(shù)概念本質(zhì)的理解。函數(shù)概念的本質(zhì)是兩個非空數(shù)集之間的對應(yīng)，學(xué)生不理解歸根結(jié)底是因為對初中函數(shù)概念根深蒂固，不理解函數(shù)概念為什么要推廣。本節(jié)課借助歷史發(fā)生教學(xué)，帶學(xué)生遵循歷史足跡，探尋函數(shù)發(fā)展的各個階段及其局限性。學(xué)生利用所學(xué)知識、通過實際舉例說明當(dāng)前階段函數(shù)概念的局限性并對其進行推廣，完成函數(shù)概念從“唯解析式論”到“變量說”再到“對應(yīng)說”的發(fā)展過程，自然而然的形成高中集合理論下的函數(shù)概念。 
 
                    
             
                    
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六、【信息技術(shù)】 
    1、PPT 
    PPT已成為每堂課必備的多媒體載體，PPT具有快捷、生動、形象的特點，可以為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于增加課堂容量，提高課堂效率。同時，與板書相結(jié)合，突出課堂重點。 
2、微課 
微課是學(xué)生課外延伸的個性化閱讀和學(xué)習(xí)的最好載體，也是傳統(tǒng)課堂學(xué)習(xí)的一種重要補充和拓展。本節(jié)課微課的主要內(nèi)容是函數(shù)概念的完整發(fā)展過程，是學(xué)生在課前觀看的。函數(shù)的發(fā)展歷程是本節(jié)課的重點，但要求學(xué)生在課堂上完全掌握存在一定的困難。因此，微課可以幫助學(xué)生提前預(yù)習(xí)，提前了解函數(shù)發(fā)展過程，分散課堂難點。 
3、圖形計算器Geogebra 
本節(jié)課課堂上并沒有使用該軟件，但學(xué)生在表演時所做的PPT中涉及到函數(shù)圖象，是學(xué)生自己用Geogebra軟件做出的。函數(shù)圖象在研究函數(shù)中有重要作用，而Geogebra軟件為學(xué)生作圖提供了很好的載體。 
4、UMU互動學(xué)習(xí)平臺 
UMU是一款移動互聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)平臺，該平臺有很多功能，支持學(xué)生課上與課下的學(xué)習(xí)，本節(jié)課所使用的功能如下： 
（1）上傳微課。UMU學(xué)習(xí)平臺可以上傳微課，并生成二維碼。 
（2）翻轉(zhuǎn)課堂。提前把微課、文章等教學(xué)內(nèi)容上傳至UMU平臺，學(xué)生下載UMU APP，課前先預(yù)習(xí)，上課更有效。 
（3）課堂檢測。當(dāng)堂檢測，學(xué)生掃描二維碼答題，現(xiàn)場提交，分數(shù)立刻展示，大屏幕可以展示排行榜及每題結(jié)果，還可以針對考試情況自動生成微課進行講解。 
（4）實時上傳。課上上傳學(xué)生成果，大屏幕實時顯示，學(xué)生在APP上也可以及時查看。 （5）布置作業(yè)。學(xué)生通過掃描二維碼，或在UMU APP上提交作業(yè)，作業(yè)的評價標準不僅僅是教師打分，還有學(xué)生互評，最終形成6個維度的AI評價，為學(xué)生實時提供個性化作業(yè)反饋。 
 
                    
             
                    
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七、【教學(xué)設(shè)計】 【設(shè)計思路】 
本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)文化課，新課標對《函數(shù)概念的形成與發(fā)展》這一內(nèi)容也有一定的要求，即“收集、閱讀函數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文，論述函數(shù)發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻”。基于課程標準的要求，本節(jié)課的一個關(guān)鍵目標是要讓學(xué)生了解函數(shù)概念的發(fā)展過程。課前讓學(xué)生閱讀教材、查找資料、觀看微課，做到對函數(shù)概念的發(fā)展有大致的了解。課上四位同學(xué)角色扮演，生動形象的講述函數(shù)概念的發(fā)展，以此完成本節(jié)課的教學(xué)重點。讓學(xué)生了解函數(shù)史的關(guān)鍵目的在于：借助數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生更加深刻理解函數(shù)的概念。因此，本堂課的后半段回歸到常態(tài)課，辨析高中函數(shù)概念、高中函數(shù)概念與初中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系。 
章建躍老師曾指出，函數(shù)概念這一節(jié)需要注意以下幾點： （1）高中為什么還要重新定義函數(shù)概念？ （2）重視一般符號      的意義的理解； 
（3）關(guān)于分段函數(shù)，要明確“分段函數(shù)是由幾個函數(shù)組成的嗎？”[9]
     因此，本節(jié)課在“辨析函數(shù)概念”環(huán)節(jié)設(shè)計了如下三個問題：     1、高中函數(shù)概念中的關(guān)鍵點是什么？ 
2、高中函數(shù)概念在初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上做了哪些改進？ 3、你是如何理解符號      ？而        又是什么意思？ 課堂練習(xí)時，設(shè)計了三道題： 
1題：說明狄利克雷函數(shù)是函數(shù)。狄利克雷函數(shù)無法畫出函數(shù)圖像，也不存在解析式，且是一個分段函數(shù)，首先讓學(xué)生清楚分段函數(shù)是一個函數(shù)，這個函數(shù)的定義域是R。其次，判斷是否為函數(shù)，學(xué)生可以再次回顧函數(shù)的三個關(guān)鍵點。 
2題：寫出兩個集合A與B之間的兩個函數(shù)。這一問題也在考察對函數(shù)概念的理解。 3題：求解函數(shù)定義域問題。教學(xué)目標要求學(xué)生必須掌握求簡單函數(shù)定義域的方法。 課堂檢測環(huán)節(jié)也設(shè)計了三個問題，第一題考察學(xué)生對函數(shù)概念發(fā)展過程的了解；第二題考察學(xué)生對函數(shù)概念及三要素的掌握；第三題考察學(xué)生求解函數(shù)定義域的掌握情況。 
最后，課堂小結(jié)，帶學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。課外延伸，要求學(xué)生獨立撰寫一篇小論文，論述函數(shù)概念的發(fā)展歷程。 
 
                    
             
                    
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【教學(xué)設(shè)計】 
教學(xué)設(shè)計 
教學(xué)環(huán)節(jié) 起止時間 
教學(xué)內(nèi)容 
學(xué)生活動 設(shè)計意圖 媒體作用 及分析 課前
準備 
  
制作微課，微課內(nèi)容為函數(shù)概
念的發(fā)展過程 
學(xué)生觀看微課并做導(dǎo)學(xué)案 
讓學(xué)生做好課前預(yù)習(xí)，提前熟悉函數(shù)概念發(fā)展歷程。 
【微課】幫助學(xué)生提前了解函數(shù)概念的發(fā)展過程。 
創(chuàng)設(shè)情境 引入新課 
0’00’’ ~ 2’40’’ 
古希臘哲學(xué)家赫拉克利特說：人不能兩次踏入同一條河流。大家覺得可不可以？ 
當(dāng)時這位哲學(xué)家是這樣解釋的，他說：“因為河水在流動，第二次踏入的已經(jīng)不是上次的河流了。”  
如果按照這樣的說法，昨天的黃河和今天的黃河還是同一條河嗎？ 
昨天晚上的你和現(xiàn)在的你到底是同一個人還是兩個人？ 當(dāng)時的人們之所以會這樣說，是因為他們不懂得如何看待運動中的事物，不懂得如何控制變量。直到17世紀，數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了變量與函數(shù)的概念，人們才懂得精準刻畫運動與變化的方法。函數(shù)概念發(fā)展至今已經(jīng)有幾百年了，在這幾百年的時間里，函數(shù)是如何一步一步發(fā)展到現(xiàn)如今函數(shù)定義呢？最初的函數(shù)是什么樣子的呢？讓我們帶著這些問題學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容——函數(shù)概念的形成與發(fā)展（板書） 
 
齊聲：可以！       
齊聲：不是！  
齊聲：兩個人 
本節(jié)課開場以講述的方式帶學(xué)生感受為什么要引入函數(shù)概念，通過古希臘著名的哲學(xué)悖論讓學(xué)生感受靜止與運動之間的辯證觀點，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的欲望。 
  
【PPT】動畫展示 角色扮演 歷史再現(xiàn) 
2’40’’ 
~ 
11’00’’ 
四位學(xué)生同學(xué)角色扮演表演情景劇，生動形象的講述函數(shù)概
念的發(fā)展歷程。 學(xué)生A負責(zé)旁白，介紹函數(shù)概
念的大致發(fā)展歷程。并說明各階段函數(shù)概念的局限性。 四位學(xué)生表演情景劇。 其余同學(xué)配合。 生動形象的表演可以讓學(xué)生們對函
數(shù)概念的發(fā)展歷程有更加深刻的了【UMU學(xué)習(xí)平臺——翻轉(zhuǎn)課堂功能】學(xué)生課前觀看平臺上提前上傳的微
 
                    
             
                    
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學(xué)生B扮演笛卡爾，講述他為函數(shù)發(fā)展做出的貢獻。 
學(xué)生C扮演歐拉，講述函數(shù)發(fā)展的第二個階段——以解析式為基礎(chǔ)的函數(shù)。 
學(xué)生D扮演狄利克雷，講述函數(shù)發(fā)展的第三個階段——對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)。 （具體臺詞見附件） 
 
 
 
 
 
 
 
解。 
心形線可以為學(xué)生提供一個反例，讓學(xué)生明白不是所有的圖形都能刻畫一個函數(shù)關(guān)系。 課、拓展文章及PPT，提前預(yù)習(xí)。 
PPT中的函數(shù)圖像是學(xué)生自己用【圖形計算器Geogebra】畫出的。 
 
 
回顧
歷史 形成概念 
11’00’’ ~ 18’36’’ 一、伽利略眼中函數(shù) 問：誰最先引入函數(shù)的？ 問：伽利略用什么刻畫函數(shù)？ 問：我們是否也曾像伽利略一樣用文字的語言刻畫兩個變量之間的關(guān)系？ 
PPT再舉例：正方形面積等于邊長的平方，體積等于邊長的立方；歐姆定律。 
問：文字描述的優(yōu)點是什么？  問：文字描述有什么缺點？  字母符號引入后，這些文字描述可以用簡單的式子來表示， 
齊聲：伽利略 齊聲：文字  某同學(xué)：總價等于單價乘數(shù)量       某同學(xué)：表述清晰、容易理解 齊聲：繁瑣，不夠簡潔  這一階段對
應(yīng)學(xué)生小學(xué)接觸到的函數(shù)。書中明確說明函數(shù)的表示方法
有四種：列表法、解析法、圖像法
和自然語
言。 
自然語言描
述函數(shù)就是學(xué)生在小學(xué)階段接觸到
的，因此，帶學(xué)生回顧函數(shù)發(fā)展的關(guān)鍵階段，也讓學(xué)生了解我們現(xiàn)在
【PPT】動畫展示         
【PPT】動畫展示          
 
                    
             
                    
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即    、    、     當(dāng)時的科學(xué)家們看到這些簡潔的式子一度認為解析式就是函數(shù)，函數(shù)就是解析式，他們的說法正確嗎？ 
當(dāng)時，函數(shù)概念的發(fā)展進入到第二個階段。 
二、以解析式為基礎(chǔ)的函數(shù) 這一時期的代表人物是伯努利和歐拉，在他們眼中函數(shù)是什么？ 
問：所有的函數(shù)都能寫出解析式嗎？ 
請某位學(xué)生舉例   
PPT舉例： 
（1）表格形式展示“里約奧運金牌榜金牌數(shù)與排名之間” （2）圖像形式展示“流浪地球票房與時間之間” 
  
問：以上兩個例子都是函數(shù)關(guān)系，卻沒有解析式，他們之間有什么共同特征？  
因此，函數(shù)不一定要有解析式，只要有某種確定的對應(yīng)關(guān)系就可以了。所以，函數(shù)的發(fā)展又進入到第三個階段。 
三、對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù) 
在這一階段代表人物是狄利克雷，當(dāng)時狄利克雷給出了一個函數(shù)定義：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。” 
    
齊聲：不正確     
齊聲：解析式  
齊聲：不是  
某同學(xué)：一天當(dāng)中溫度與時間之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，但沒有解析式。 
 
        學(xué)生思考回答：都有一種確定的對應(yīng)關(guān)系 
    
       
 學(xué)習(xí)的函數(shù)
也是按照歷史發(fā)生的順序。   
函數(shù)第二階段的觀點也一度是學(xué)生的誤區(qū)。 初中學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，這些函數(shù)都是有解析式的。因此初中階段，在學(xué)生心中，函數(shù)是什么？函數(shù)是   。他們說出的一般都是解析式。這一環(huán)節(jié)學(xué)生舉例說明并不是所有函數(shù)都能寫出解析式，消除學(xué)生誤區(qū)。     
函數(shù)這一階段對應(yīng)著學(xué)生初中接觸到的函數(shù)。初中函數(shù)定義學(xué)生已經(jīng)掌握，但這并不是最終的函數(shù)定                     
【PPT】動畫展示                      
 
                    
             
                    
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問：狄利克雷的函數(shù)定義與之前的函數(shù)定義相比有何改進？  狄利克雷的函數(shù)定義成為大眾認可的經(jīng)典定義，也被很多初中版本教材引用。 
回憶初中函數(shù)定義：“在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。” 
問：初中函數(shù)定義有何局限？  解釋：該函數(shù)定義已經(jīng)完全揭示了函數(shù)概念的本質(zhì)，但準確性不高，例如：可以用初中函數(shù)定義解釋   是一個函數(shù)嗎？為什么？ 到了20世紀，集合理論誕生后，函數(shù)我們還可以從另外一個角度來看待它，而且這個角度更有利于日后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。 四、集合理論下的函數(shù) 
高中函數(shù)概念：“設(shè)集合A是一個非空的數(shù)集，對A中的任意數(shù)x，按照確定的對應(yīng)法則f，都有唯一確定的數(shù)y與它相對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個函數(shù)，記作      ，   。 
其中x叫做自變量，自變量的
取值范圍叫做函數(shù)的定義域。 與x對應(yīng)的y叫做函數(shù)值，函
學(xué)生思考 
答：擺脫了解析
式的束縛，兩個變量之間能否寫出表達式無關(guān)緊要，只要他們之間存在一種對應(yīng)關(guān)系即可。 
  
     
  
      
齊聲：不能 例如：因為初中函數(shù)定義中強調(diào)y隨x的變化而變化，而   中無論x為何值，y都等于1，體現(xiàn)不出變化，因此初中定義解釋它有些牽強。 
   某學(xué)生讀函數(shù)概念  義，高中又對函數(shù)定義進行推廣。因此這一環(huán)節(jié)通過問題設(shè)置，教師講解，讓學(xué)生清楚初中函數(shù)定義的局限性，因此需要推廣。                        
復(fù)習(xí)高中函數(shù)定義。 
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數(shù)值構(gòu)成的集合叫做函數(shù)的值域。” 
辨析概念加深理解 
18’36’’ ~ 26’30’’ 
問：高中函數(shù)概念中有哪些關(guān)鍵詞？ 
  問：如何用高中函數(shù)定義來判斷一個關(guān)系是函數(shù)關(guān)系？函數(shù)定義當(dāng)中有哪些關(guān)鍵點？ 
板書： 
（1）兩個非空數(shù)集A、B 
（2）確定的對應(yīng)法則f 
（3）唯一確定的y與之相對應(yīng) PPT中呈現(xiàn)高中函數(shù)定義和初中函數(shù)定義， 
問：高中函數(shù)定義在初中基礎(chǔ)上有何改進？  學(xué)生小組討論，給出回答。 總結(jié)： 
①高中函數(shù)定義中有集合，而且x與y看成了集合中的元素； ②高中函數(shù)定義中有了定義域和值域的概念； ③高中函數(shù)定義中出現(xiàn)了對應(yīng)法則。 問：你是如何理解符號      ？而       是什么意思？  
某同學(xué)： ①任意數(shù)x 
②確定的對應(yīng)法則f 
③唯一數(shù)y    
 
學(xué)生思考，共同回答 
      
 學(xué)生小組討論。 派代表回答，其
他小組補充。         某同學(xué)：      是一種對應(yīng)法則，       表示一種符號。  辨析高中函數(shù)概念，理解函數(shù)概念的本質(zhì)。      
掌握函數(shù)的三個關(guān)鍵點，并會用這三點判斷一個關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系。      
辨析初高中函數(shù)定義之間的區(qū)別與聯(lián)系。 
 
 
    
 
 
 
理解對應(yīng)法則的含義，符號
      以及        
的含義。   
   
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總結(jié)：      表示一種對應(yīng)規(guī)則，       是一個數(shù)學(xué)運算的符號，它作用到x就得到一個結(jié)果y，例：     作用到1上，得到的結(jié)果      。 至于    這個數(shù)值是多少，決定于什么？ 
這個對應(yīng)法則可以是解析式、可以是圖像、也可以是表格。 例如：如果給出圖像， 
           
如果給出表格， 
x 1 2 3 
y 6 7 8 
則       
如果給出解析式，        
則       
 
學(xué)生整理，完善學(xué)案中“函數(shù)
概念的形成與發(fā)展線路圖” 
  
找一位答案比較標準的同學(xué)，
拍照上傳至UMU，其它同學(xué)查看并參照修改。      
齊聲：對應(yīng)法則f    
教師提問，學(xué)生齊聲回答        
該生拍照上傳 
 大屏幕實時顯示  
學(xué)生參照并修改                        學(xué)生填寫函數(shù)概念發(fā)展歷程中的關(guān)
鍵階段的代表人物、主要觀點和局限性，幫助學(xué)生再次回顧函數(shù)的發(fā)展過程。           
【UMU學(xué)習(xí)平臺——拍照上傳功能】上傳答案，可節(jié)省學(xué)生將試卷送到展板的時間，且可避免因展板展示不清晰而看不清的情況。  
【UMU學(xué)習(xí)平臺——實時查看功能】圖片實時上傳，學(xué)生可在APP中直接打開。圖片會一直保留在UMU軟件中，方便學(xué)生課后隨時查看。 鞏固
練習(xí)高效展示 
26’30’’ ~ 34’45’’ 
小組討論學(xué)案中訓(xùn)練案2、3、4題。 2、從集合角度說明狄利克雷函
數(shù)       （ 為有理數(shù)） （ 為無理數(shù)）是一個函數(shù). 
3、已知集合A=         ，B=       ，試寫出從集合A到
B的兩個函數(shù). 
小組討論  
 
接到任務(wù)的同學(xué)到后黑板分別展示三道題 
小組討論訓(xùn)練案三道題，學(xué)生之間互幫互助，培養(yǎng)良好的團隊意識。 
學(xué)生展示、講解可以為學(xué)生提供一
【PPT】展示題目         
 
                    
             
                    
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4、求函數(shù)        
  
   
  
 的定義域.  
高效展示、精彩講解 
 
 
 
 
三位同學(xué)分別為大家講解三道題目 
 
個在大家面前展示自我的機會，同時提升學(xué)生概括能力及語言表達能力。 
       
【PPT】呈現(xiàn)展示人及展示題目 當(dāng)堂檢測 及時鞏固 
34’45’’ ~ 38’52’’ 學(xué)生用手機掃描屏幕上方二維碼并開始答題 
 完成檢測題目后提交。  題目： 1題：初中函數(shù)定義借鑒了下
列哪位科學(xué)家所提出的函數(shù)定義？ A.柯西         B.伯努利      C.狄利克雷     D.歐拉   2題：下列說法正確的是（  ） A     是函數(shù)         不是函數(shù) C.   與    
 
是同一個函數(shù) 
D.          與.          是同一個函數(shù)   
3.設(shè)函數(shù)           
，     
      
求函數(shù)         
的定義域. A.   
      
學(xué)生掃描二維碼  學(xué)生答題   屏幕實時顯示提交人數(shù) 學(xué)生答題后查看結(jié)果  
屏幕展示答題排行榜 
 
屏幕展示每題正確率 
課堂檢測，
檢測學(xué)生本節(jié)課的掌握情況。檢測題目涉及三
個知識點。 1題考查函
數(shù)概念的發(fā)展史。 2題考查學(xué)
生對函數(shù)概念的掌握情況。 3題為求解定義域問
題。 
這三類問題
都是本節(jié)課
教學(xué)目標中需要學(xué)生掌
握的。 【UMU學(xué)習(xí)平臺——課堂檢測功能】 課堂檢測，限時回答，分數(shù)立刻展示。同時，大屏幕還可以展示排行榜及每題結(jié)果。每題都有詳細解答，學(xué)生答題后可以對照參考答案，查找錯誤原因，還可以針對考試情況自動生成微課進行講解。 
 
 
 
                    
             
                    
                             13 / 17 
 
B.    
      C.   
      
D.   
       
 
 
 
總結(jié)反思知識升華 
38’52’’ 
~ 39’23’’ 
總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容： （1）了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程 （2）辨析高中函數(shù)概念，掌握函數(shù)概念三要素 
（3）理解對應(yīng)法則f的含義 
（4）會求解簡單函數(shù)的定義域  
師生共同回憶 讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，老師適當(dāng)點撥引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，表達能力和自我獲取知識的能力。        
【PPT】動畫展示  
課外拓展數(shù)學(xué)文化 
39’23’’ ~ 40’51’’ 每個數(shù)學(xué)概念和公式的背后都有它的故事，或許源于一個靈感；或許是幾代人甚至是幾個世紀人們共同努力使之完善的過程；或許是中外數(shù)學(xué)家的一些共同思考。 
函數(shù)概念的定義經(jīng)過多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié).。因
此，隨著以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會繼續(xù)擴展。 
結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容，撰寫一篇小論文，論述函數(shù)發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要任務(wù)及其對人類文明的貢獻。要求以小組為單位Word文檔形式上傳至下方二維碼。 
 
學(xué)生查閱資料，獨立完成一篇小論文，論述函數(shù)概念的發(fā)展歷程，并按時上傳至UMU平臺上。  
 
 
撰寫小論文，感悟函數(shù)概念形成過程中蘊含的人文精神和科學(xué)精神 
【UMU學(xué)習(xí)平臺——上交作業(yè)功能】學(xué)生通過掃描二維碼，或在UMU APP上提交作業(yè)，作業(yè)的評價標準不僅僅是教師打分，還有學(xué)生互評，最終形成6個維度的AI評價，為學(xué)生實時提供個性化作業(yè)反饋。

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