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視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《橢圓及其標準方程》廣東—蔣

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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《橢圓及其標準方程》廣東—蔣

橢圓及其標準方程(一)
（人教A版選擇性必修第一冊第三章第一節）
一、教學內容解析
教材分析
內容：橢圓的定義及其標準方程的推導．
本節是高中數學人教A版選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線》3.1.1《橢圓及其標準方程》第1課時內容．在第二章《直線與圓的方程》中，我們學習了確定直線與圓的幾何特征：定點、定方向以及定點與定長.并且在平面直角坐標系中用坐標法給出了直線與圓的方程.本節課，我們將研究直線與圓的這種方法拓展到橢圓，給出確定橢圓的基本幾何量并在平面直角坐標系中推導出橢圓的標準方程.本課時內容是學生繼續學習橢圓幾何性質的基礎；橢圓是圓錐曲線中的代表性圖形，它跟雙曲線、拋物線在概念與性質上具有基本同構特點.橢圓的學習為學生后續研究雙曲線、拋物線提供了基本模式及理論基礎.因此，本節課具有承前啟后的作用.
為了讓學生了解橢圓的幾何特征，教材設計了一個動手畫橢圓的小實驗.通過畫圖過程，學生總結分析得到橢圓上的點所要滿足的基本幾何條件是：平面內與兩個定點、的距離的和等于常數（大于）.在橢圓定義中限制條件是非常重要的.當時，得到的軌跡是圓.若,則得到的軌跡是線段；若則滿足條件的軌跡不存在.
在橢圓標準方程的推導過程中，可類比圓的方程的推導過程，以橢圓的焦點所在的直線標記正方向作為橫坐標以兩焦點的中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，得到的橢圓方程才是橢圓的標準方程.將橢圓的幾何條件代數化后，代數式的化簡成為本節課的難點之一.此式的化簡過程本質是無理式化有理式的過程.它的化簡方法可以有平方法、分子有理化、平方差公式應用等.整個推導過程都是等價變形.從而方程與代數是等價的，所以方程是橢圓的標準方程.
學生分析
學生在第二章學習了《直線和圓的方程》，對坐標法研究幾何問題有了一定的了解，初步具備了用坐標法解決幾何問題的經驗.這為學生學習本節課的知識奠定了基礎.由于橢圓的幾何特征比圓的幾何特征復雜，學生對于該從哪個角度入手研究橢圓的幾何特征從而抽象出橢圓的概念會感到很困惑，所以，學生自己動手畫橢圓的過程需要得到加強.另外，代數式的化簡也是學生本節課學習過程中的運算障礙．學生對二次平方法解決上式的化簡過程無歷史經驗可循.此時需要在教師主導下師生共同分析式子的結構特征，選用先移項后兩邊平方法進行化簡，可有效掃除學生的運算障礙.
 
二、目標解析  
知識目標：
（1）了解橢圓的幾何特征，理解橢圓的幾何定義．
（2）了解二次平方法推導橢圓標準方程的化簡步驟．
（3）理解橢圓標準方程的代數特征及參數的幾何意義．
技能目標：
（1）會畫橢圓的圖象． （2）會求橢圓的標準方程．（3）會化簡含有兩個根式和的等式．
能力目標：

1. 能類比圓的研究方法研究橢圓．
2. 能夠建立恰當的平面直角坐標系，用坐標法研究幾何圖形．

 

• 教學重難點分析

教學重點：
（1）類比圓的學習過程，通過畫圖總結橢圓的幾何特征，并正確給出橢圓的定義.
（2）利用坐標法建立合理的平面直角坐標系推導橢圓的標準方程．理解坐標法的基本思想.
教學難點：理解并能準確刻畫橢圓的幾何特征，橢圓標準方程的正確推導（含有兩個根式的和的等式如何化簡）．
 
四、教學準備
教學方法：采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點．
教學道具：教師為每個小組準備一張白色卡紙，一條細繩，幾何畫板、PPT. 學生自備鉛筆．
 
 
五、流程框圖
（一）數學流程：

（二）教學流程：

六、教學過程與設計

教學環節	預計時間	問題或任務	教師活動	學生活動	設計意圖
創設情境引入 課題	2分鐘	了解圓錐曲線	展示平面截圓錐得橢圓、雙曲線、拋物線的實物模型. 介紹圓錐曲線的簡單歷史及其在現實生產生活中的應用. 介紹本章學習任務：用坐標法研究圓錐曲線	觀察實物模型，了解圓錐曲線的歷史背景及現實作用. 明確本章學習任務.	重現古希臘阿波羅尼斯發現圓錐曲線的過程，用數學文化滋養學生，發展學生的數學思維.
	1分鐘	【問題1】將一個圓形玻璃杯稍微傾斜，杯中水面是不是橢圓形？一個雞蛋是不是橢圓？	教師：教師手拿一個盛有半杯水的圓柱形透明水杯展示給學生看并問：同學們，水面是什么形狀？當教師將水杯稍微傾斜，再問：此時呢？ 教師：利用PPT投影出雞蛋圖說：雞蛋的截面是橢圓嗎？ 教師：什么樣的圖形才是橢圓呢？數學上怎么定義橢圓？帶著這些疑問我們一起來學習本節課的內容《橢圓及其標準方程》	學生：水杯沒有傾斜時水面是圓形.當水杯稍微傾斜時，水面是橢圓形. 學生：雞蛋是橢圓形，因為它的截面是橢圓． 學生：雞蛋不是橢圓形，橢圓是平面圖形，雞蛋是空間圖形.	通過實例，引發認知沖突，激發學生學習橢圓的興趣.
動手實驗定義橢圓	2分鐘	【問題2】坐標法研究《圓的方程》的過程是怎么樣的？	教師：上一章我們已經用坐標法研究了直線與圓兩種平面圖形，其基本操作是先畫出圖象確定其幾何特征然后建立恰當的平面直角坐標系給出直線與圓的代數方程. 教師在黑板上板書如下內容   幾何特征 代數方程 直線 定點、定方向 圓 定點、定長	學生聆聽教師分析回憶坐標法研究直線與圓的基本流程，為學習橢圓做知識儲備.	為本節課類比圓的研究方法研究橢圓做好方法及心理鋪墊
	5分鐘	【動手操作，直觀體驗】取一條定長的細繩，若把細繩兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出來的軌跡是一個圓，如果把細繩的兩端點拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點、，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？ 【問題3】“操作過程中套上鉛筆，拉緊繩子”意味著什么？筆尖移動過程中滿足的幾何條件是什么？ 【問題4】通過觀察，決定橢圓的幾何要素有哪些？基于這些幾何要素，我們該如何抽象出橢圓的定義？	教師：下面我們將類比直線與圓的研究過程來研究橢圓，那應該先研究什么呢？ 教師：由于畫橢圓圖象的方法比畫直線與圓的圖像復雜，為了大家能夠畫出較為標準的橢圓，我們先動手做一個數學實驗.	學生：畫出橢圓的圖象確定橢圓的基本幾何特征.	讓學生通過探究活動，更好地理解橢圓的定義，體會畫橢圓的方法及定義中的關鍵要素．發展學生數學抽象核心素養．
合理建系 推導方程	3分鐘	【問題5】如何建立平面直角坐標系可能使得橢圓方程形式簡單．	教師：通過剛才的探究學習，我們已經了解了橢圓的幾何特征及幾何定義，我們該如何應用橢圓的這些幾何特征建立橢圓的方程呢？ 教師：提出問題5. 教師：教師在PPT上展示多種不同的建系方法并追問學生：根據剛才的分析以及你的經驗，以上哪種建系方法會使得運算更簡單？ 師生共同選在以、所在的直線為軸，以、的中點為坐標原點建立平面直角坐標系 教師：橢圓幾何定義的符號表達怎么寫?如何將幾何定義代數表示？（教師旁白：設定義中的定長為，兩焦點坐標為） 教師在黑板上板書橢圓定義的符號表示，在橢圓圖象上建立直角坐標系，寫出橢圓定義的代數表示.并強調幾何問題代數化為坐標法解決幾何問題的基礎.	學生：建立平面直角坐標系，利用坐標法建立方程. 學生：思考問題5． 學生：分析并得出結論：橢圓關于兩定點所在直線對稱，關于線段的中垂線對稱，且兩對稱軸交點是橢圓對稱中心． 學生：學生獨立思考后給出自己的選擇. 學生：橢圓幾何定義寫成 建立平面直角坐標系后 ， 橢圓定義的代數表達為：	類比圓方程最簡形式與坐標系的關系，根據橢圓的對稱性選擇最佳建系方法推導橢圓的方程，進而更好地理解標準方程之 “標準”所在．在推導方程過程中，利用兩種常用的平方法，引導學生在化簡時要注意分析式子的結構特征，選擇對應的化簡方法，提高運算能力．發展學生數學運算核心素養，培養學生堅韌不拔的意志品質.在數學運算教學中滲透“立德樹人”的基本要求.
	10分鐘	【問題6】如何化簡以下式子？   方法一：移項兩邊平方法 方法二：直接兩邊平方法	教師：同學們，我們已經將橢圓的定義用代數式表示出來了，接下來我們需要做什么工作？ 教師：這個等式有什么特點？我們有哪些類似的化簡經驗幫助我們化簡上面的式子？ 教師：教師點評學生對橢圓定義代數式結構特點以及化簡方法的分析并安排學生動手化簡該代數式. 教師巡視課堂，并對部分同學的化簡過程給予適當的點評與幫助. 教師：教師展示部分學生的方程化簡過程. 師生共同利用兩種方法化簡至：．	學生：化簡上面的代數式 學生：該代數式的左邊是兩個無理式的和，右邊是常數。我們可以平方來化簡. 學生：可以將一個根式移項到等式右邊去，再根式兩邊分別平方. 學生：初中學習的分母有理化的過程中有兩個根式的和或者差出現，這里應該可以類比應用. 學生：學生根據自己的選擇獨立的嘗試化簡橢圓的方程． 學生：學生消化其他同學所用的不同的化簡過程，并對比分析各種方法的優劣.積累兩個根式和的等式化簡的經驗，為雙曲線方程推導積累方法儲備.
	2分鐘	【問題7】觀察下圖，你能找到表示，，的線段嗎？	教師：提出問題7． 教師：令，則（1）式可化為：（）（2）．	學生：學生思考問題7并相互討論分析.并在橢圓圖象中找出的幾何量并得出這一個重要的等量關系	讓學生了解橢圓標準方程中三個重要參數的幾何意義，加深對橢圓標準方程的理解
	2分鐘	方程（）與橢圓的關系	教師：同學們，回顧整個推導過程，方程（）與式子 等價嗎？方程（）的解與橢圓上的點的坐標之間的關系是什么樣的？ 教師：上面的方程稱為橢圓的標準方程.它體現數學式子的簡潔美、對稱美，內在的每一個字母都賦予它深刻的含義，最能直觀體現參數幾何意義，方便對橢圓的研究.只需要確定兩個代數量就可以確定橢圓方程。	學生：整個化簡過程是等價變形，所以方程（）與式子 等價.方程的每一組根是橢圓上的點的坐標，同時，橢圓上的點的坐標也滿足方程.	通過橢圓上的點的坐標與橢圓方程之間的關系，使學生加深對曲線與方程關系的認識.從而加強對坐標法的認識.
類比推理 分類討論	2分鐘	【問題8】如果焦點在軸上，原點為兩焦點的中點，則橢圓方程是與焦點在軸上的方程有什么不同？	教師：提出問題8． 教師:小結橢圓幾何定義及標準方程知識點 教師：橢圓兩種方程形式的共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1. 不同點：焦點在軸的橢圓項分母較大. 焦點在軸的橢圓項分母較大. 由上表可知，從幾何角度考慮，要確定橢圓只需要確定橢圓的兩定點及定長。從代數角度考慮，要確定橢圓只需要確定橢圓的方程形式以及三個基本代數量.	學生：思考問題8 利用類比的方法，得到方程：（）．	總結方程特征，明確方程與焦點的對應關系．
例題研討 學以致用	5分鐘	例1：已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經過點，求它的標準方程．	教師：教師引導學生閱讀題目，分析題目條件，對條件之間的關系做出解釋. 方法一：定義法  方法二：待定系數法 教師：定義法與待定系數法分別從幾何與代數兩個角度分析題目條件，從而求解出橢圓的標準方程方程.體現了研究幾何問題的兩個不同的角度.	學生：學生獨立完成例1的解答并展示講解.與教師一起整理兩種方法的解題步驟。	使學生體驗橢圓定義在解題中的作用．培養學生先分析條件，再選擇解題方法解題的解題習慣.提高學生的數學運算能力.
歸納小結 明晰重點	2分鐘	1．橢圓的定義，焦點、焦距的概念； 2．橢圓的兩種標準方程．	師生共同完成．		總結學習要點．
課后練習 鞏固提升	1分鐘	1．教材第109頁第1.2.3題．	教師：本節課開始時平面截橢圓所成的封閉曲線以及傾斜的水杯水平面都是橢圓，數學家們用旦德林雙球模型證明它，請大家課后查閱有關旦德林雙球模型證明以上兩個橢圓的資料．		檢驗是否掌握橢圓標準方程；作業

 

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