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視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《函數的零點與方程的解》貴州—任

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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《函數的零點與方程的解》貴州—任

《函數的零點與方程的解》教學設計
                 
一、教學內容解析
1．內容
本節課是《普通高中教科書數學A版必修第一冊》第四章第五節函數的應用（二）第一課時的內容．
2.內容解析
函數與方程是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，也是中學數學的重要數學思想之一，在高中數學教學中占有非常重要的地位．本節內容是學生在學習了函數的概念及性質、基本初等函數等知識的基礎上，結合函數圖象及性質，探究函數零點與方程的根之間的關系以及函數在某個區間上存在零點的條件是函數作為解決數學問題的工具在數學知識內部的應用，同時本節課的學習也是為下節“用二分法求方程的近似解”奠定基礎，具有承前啟后的作用．
本節課要求學生通過二次函數的零點的定義抽象出一般函數的零點的概念，并通過對一元二次方程的根與相應的二次函數的零點以及二次函數的圖像與x軸的交點的橫坐標之間的關系的判斷，推斷出一般的方程的根與相應的函數圖像與x軸交點橫坐標、函數零點的等價關系，通過分析具體二次函數零點附近的圖像和函數值的特征，結合其他函數零點所在區間的函數值特征，總結歸納出函數零點存在的條件，得出函數零點存在定理，最后利用函數零點存在定理研究具體方程根的問題，并利用信息技術作出函數圖像幫助學生直觀形象地理解本節內容，體現函數的應用價值．
函數作為解決數學問題的基本工具，把函數在解方程中加以應用，滲透了許多重要的數學思想，比如函數與方程思想，數形結合思想，轉化與化歸思想．對培養學生的數學抽象、直觀想象、數學運算和數學建模等學科核心素養，以及樹立學數學、用數學的觀念與信心具有至關重要的作用．
故本節課的教學重點是：函數零點的概念、函數零點與方程的解的關系，以及函數零點存在定理．
二、學生學情分析
本節課的教學對象是剛進入高中的高一學生，在初中，學生已經對一元二次方程的根的三種情況有了深刻的認識，對二次函數的圖象也比較熟悉，通過前面章節的學習，學生已經了解了一些基本初等函數的模型，掌握了函數圖象的一般畫法及函數的一些性質（如奇偶性、單調性、最值等）．本節內容是將函數的零點與方程的解的關系進行進一步討論，通過幾個學生熟悉的具體函數，抽象出零點的概念，歸納函數在某區間有零點的條件，從而得出函數零點存在定理．進一步從代數與幾何兩個角度判斷零點的個數．從代數到幾何,從幾何到代數全方位理解函數的零點與方程的解之間的關系，幾何與代數之間的轉化對學生認知水平的要求屬“最近發展區”，但學生對知識之間的有機聯系把握不到位，應用意識不強，其觀察、歸納能力還有待進一步提高．故函數零點的存在定理的生成過程對學生來說是一個難點．這種從學生已有的知識出發理解探究新知識的過程既符合學生的認知規律，也是解決數學問題的一般方法．
故本節課的難點是：函數零點存在定理的導出，以及理解函數零點存在定理中的兩個條件是函數在某區間上存在零點的充分不必要條件，借助函數圖像判斷函數零點的個數．
三、教學目標設置
1.根據二次函數零點的定義抽象出一般函數零點的定義．在此過程中培養學生的數學抽象核心素養；
2.通過對一元二次方程的根與相應的二次函數的零點以及二次函數的圖像與x軸的交點的橫坐標之間的關系的認識，推斷出一般的方程的根與相應的函數圖像與x軸交點橫坐標、函數零點的等價關系．在此過程中培養學生的邏輯推理能力以及對數形結合思想的應用；
3.通過分析具體二次函數零點附近的圖像和函數值的特征，再結合更多函數圖像，通過觀察、對比、分析、總結歸納出函數零點存在的條件，得出函數零點存在定理。在此過程中培養學生直觀想象，數學運算，數學建模等核心素養．
四、教學策略分析
根據＂建構主義＂、＂最近發展區理論＂和本節課的特點，貫徹“教為主導，學為主體，問題解決為主線，能力發展為目標”的教學思想，采用啟發誘導，通過營造問題情景，激發學生的探索欲望，鼓勵學生自主探究．充分利用學生熟知的一元二次方程的根與對應的二次函數的圖象之間的關系，數形結合，由淺入深，從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性，精心設置一個個問題鏈．采用“設問—探究—歸納—定論”層層遞進的方式來突破本課的重難點,由淺入深，循序漸進，培養學生的探究精神．著眼于知識的形成和發展過程，注重學生的學習過程體驗，給不同層次的學生提供思考、創造、表現和成功的舞臺．
五、教學過程
（一）整體感知，明確任務
在“函數的應用（一）”中，通過一些實例，我們初步了解了建立函數模型解決實際問題的過程，學習了用函數描述客觀事物變化規律的方法，體會了函數作為解決數學問題的基本工具的重要性．本節我們將繼續探究和學習運用函數性質求方程近似解的基本方法。首先我們來探究函數的零點與方程的解之間的關系．
設計意圖：小節統領明確研究的內容和目標．
（二）以問題為導向探究新知
1.問題引入
問題1：判斷下列方程是否有實數解？若有,是否有求根公式？
              （2）
學生回答（預設）：第一個方程是一元二次方程，它有實根，可用求根公式求解；第二個方程不會解．
回顧數學的發展史，古今中外的數學家們對方程的求解進行了一系列的探索，并取得了驕人的成績：我國古代數學家已比較系統地解決了某些類型方程求解問題，約公元50~100年編成的《九章算術》記載了一次方程、二次方程、三次方程的求根方法；南宋數學家秦九韶在《數書九章》中提出了“正負開方術”，提供了一種用算籌布列解任意數字方程的有效算法，此法可以求出任意次代數方程的正跟．
外國數學家對方程求解也有很多的研究：9世紀阿拉伯數學家花啦子米（Al-Khowarizmi,約780-850）給出了一次方程和二次方程的一般解法，1541年，意大利數學家塔爾塔利亞（N.Tartaglia,約1499-1557）給出了三次方程的一般解法；1545 年，意大利數學家卡爾達諾(G.Cardano，1501-1576)的名著 《大術》一書中，把塔爾塔利亞的解法加以發展，并記載了費拉里(LFerrari，1522-1565)的四次方程的一般解法．
設計意圖：教師提出問題引發學生思考，激發學生的求知欲，凸顯研究的必要性，同時融入數學文化展示方程求解的發展史，引導學生用發展的眼光看問題．
今天我們站在巨人的肩膀上利用函數的零點來探究方程的解的情況．
問題1：如何從二次函數的角度認識一元二次方程的根？
例如:一元二次方程的根是什么?它們與相應的二次函數有什么關系？
學生回答（預設）：一元二次方程的根就是對應的二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標即就是二次函數的零點。
問題2：類比以上結論，對于一般的方程我們是否也能從函數的角度來探究其解的情況？
學生回答（預設）：能，方程的解就是函數的圖像與軸的交點的橫坐標．
與二次函數一樣，這里我們也把方程的解叫做函數的零點．
設計意圖：教師設問引導學生從簡單的問題出發，從特殊到一般，通過類比發現解決新問題的思路，培養學生的探索精神．
2.函數的零點定義探究
一般函數的零點：對于一般的函數，我們把使的實數叫做函數的零點．
設計意圖：教師引導學生直接將二次函數的零點的概念推廣到一般的函數，從而讓學生自己抽象出一般函數零點的定義，讓他們體會從特殊到一般的解決問題的思路，同時培養學生數學抽象核心素養．
追問（1）函數的零點是點嗎?
學生回答（預設）：函數的零點不是點，而是方程的根，是一個實數。
追問（2）由此我們可以得出：方程的根、函數的零點與函數的圖像三者之間的關系是什么？
學生回答（預設）：
方程的根（方程有實數解）
 

函數的零點                 函數的圖像與軸交點的橫坐標
（函數有零點）              （函數的圖像與軸有交點） 
因此關于方程的解的情況的探究可以轉化為探究函數的零點或者函數的圖像與軸交點情況．
設計意圖：根據函數零點的定義提出相關問題，讓學生分別從代數和幾何的角度認識和理解函數的零點，以達到辨析定義的目的，同時緊扣最初我們提出的方程問題將方程解的問題轉化為函數的零點問題，在此過程中培養學生嚴謹的學習態度以及對轉化化歸的數學思想的應用．
3.函數零點存在定理探究
問題3：請同學們觀察二次函數的圖像，并計算其零點所在的區間和上端點處的函數值你有什么發現？
學生回答（預設）：在區間上零點左側的圖象在x軸下方，零點右側的圖象在x軸上方．相應的函數的取值在零點左側小于0，在零點右側大于0．即函數在端點x=2和x=4的取值異號，即，在區間亦然．
問題4：觀察下列函數的圖像，思考：對于一般的函數，在其零點所在的區間上 是否也有上面的結論？
 

 
 

若保持端點處的函數值不變，請同學們嘗試改變函數圖像的形狀，觀察零點的變化情況，回答問題5，6.
問題5：當時，函數在區間上的零點個數情況如何?
學生回答（預設）：當時，若函數的圖像連續，則函數在區間上可能有一個零點，也可能有多個零點；若函數的圖像不連續，則函數在區間上可能沒有零點．
問題6：當時，函數在區間上的零點個數情況如何?
學生回答（預設）：當時，無論函數的圖像連續與否，函數在區間上都可能有零點也可能沒有零點．
問題7：根據以上結論，函數滿足什么條件時它在區間上就一定有零點？
學生回答（預設）：函數滿足以下兩個條件時它在區間上就一定有零點？
(1)函數  在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線；
(2) 區間端點處的函數值異號，即  　．    
我們把這個結論稱為函數零點存在定理．
函數零點存在定理：如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么，函數在區內一定有零點，即存在，使得，這個c也就是方程的解．
設計意圖：以學生熟知的二次函數的零點所在區間為例，結合大量函數圖像，讓學生經歷觀察－對比-發現-歸納-總結-定論從而獲得定理的過程，使他們充分感受零點存在定理的生成過程，教會他們思考問題、解決問題的一般思路，同時培養他們的直觀想象，邏輯推理等核心素養．
根據前面的探究以及定理的內容請同學們思考以下問題：
追問1：根據零點存在定理：如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么，函數在區內一定有零點，那么函數有幾個零點呢?
學生回答（預設）：至少有一個零點．
追問2：如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么函數在區間上至少有一個零點，再加上什么條件就能保證函數在區間上有且只有一個零點？（請同學們畫圖加以說明）


學生回答（預設）：再加上條件：在區間上單調，則函數在區間上有且只有一個零點．
 　　追問3：函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，是函數在區間上有零點的什么條件？
學生回答（預設）：充分不必要條件．
設計意圖：圍繞定理內容提出問題，引導學生數形結合深刻認識和理解函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，是函數在區間上有零點的充分不必要條件，為后續學生準確應用函數零點存在定理打下堅實的基礎．
4.初步應用，深化理解
例1. 函數的零點所在的區間為（   ）
A.     B.     C.     D.
設計意圖：對零點存在定理內容的鞏固和簡單應用．
例2.求方程的實數解的個數．
解：根據方程的跟與函數零點的關系，我們將方程的解的問題轉化為函數的零點問題：
學生回答（預設）：
 
設函數
解法一：因為，，即，且函數圖象在定義越(0，+∞)上連續．由函數零點存在定理可知，函數在區間(2，3)內至少有一個零點．
另外，對于函數，x∈(0，+∞)，可以先將其轉化為兩個基本函數與，由于它們在(0，+∞)內都單調遞增，所以函數在(0，+∞)內是增函數．
兩方面結合，可以判定它只有一個零點，即相應方程只有一個實數解．
 
 
 
解法二：根據表1結合函數的單調性，畫出函數的圖像如圖2所示，由圖可知函數有且只有一個零點，即方程只有一個實數解．
表1

x	y
1	-4
2	-1．306 9
3	1．098 6
4	3．386 3
5	5．609 4
6	7．791 8
7	9．945 9
8	12．079 4
9	14．197 2

 
解法三：            
由函數和函數的圖像可知，這兩個函數的圖像有且僅有一個交點，即方程只有一個實數解．
設計意圖：首尾呼應解決本節課最初提出的問題，（1）引導學生將函數零點存在定理與函數的單調性相結合，確定方程實數解的個數，強化對函數零點存在定理的應用．（2）將方程的解的個數問題轉化為函數圖像的交點個數問題，數形結合解決問題．培養學生數學運算、邏輯推理等核心素養．
 
（三）課堂小結
方程的根（方程有實數解）
 
函數的零點                 函數的圖像與軸交點的橫坐標
（函數有零點）              （函數的圖像與軸有交點
 
函數零點存在定理
其中蘊含的思想和方法：從特殊到一般抽象定義、歸納結論；根據定義（定理）再思考提出問題辨析定義（定理）；數形結合、轉化化歸解決問題．
（四）課后作業
1. 習題1,2
2.課后思考：我們已經知道函數在區間(2，3)內有且只有一個零點，那么如何把零點所在的區間長度縮短，又如何求其零點的近似值呢？（為下一節內容做準備）
六、板書設計

課題 一、函數零點的定義：                              例1.                                                   例2.                                        函數零點存在定理                             小結

 

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