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視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《對數函數的圖象和性質》河南—劉佳—設計—

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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《對數函數的圖象和性質》河南—劉佳—設計—

4.4.2 對數函數的圖象和性質
河南師范大學附屬中學 劉佳
 
一、教學內容解析
本小節選自人民教育出版社出版的《普通高中教科書：數學A版》（必修第一冊）第四章指數函數與對數函數4.4.2對數函數的圖象和性質．
《普通高中課程方案（2017年版）》指出：“重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，以主題為引領，使課程內容情境化．”本節課研究的對數函數是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中函數主線中繼冪函數、指數函數之后另一個重要的初等函數，是基于研究函數的一般觀念的對數函數的研究．
從函數主線的宏觀角度來看，學生在初中經過一次函數、二次函數、反比例函數的學習，已經掌握了用變量之間的依賴關系描述函數．高中又通過對應關系說建立了完整的函數體系，并經過了“理論應用，方法示范”過程，對數函數處于高中對函數研究的“鞏固方法，豐富經驗”的階段．
從課時學習的微觀角度來看：新教材把對數函數的研究拆分成了兩個課時，上一個課時已經完成了對函數概念的學習．本節在研究函數的大方向指引下，通過對圖象的探索挖掘函數性質，又通過對性質的應用加強對數函數和現實生活間的聯系，特別是最后反函數的引入，通過對同一問題中的兩個變量用兩種不同類型的函數去刻畫，使對數函數和指數函數間的關系更加清晰明朗．
本節課蘊含了分類討論、數形結合等數學思想方法，體現了數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學建模等核心素養．對數函數的研究方法以及研究的問題具有普遍意義，有利于進一步加深對數學思想方法的理解．
 
二、教學目標設置
1．通過對研究函數的方法的總結，使學生掌握研究基本初等函數的一般方法，體會函數在數學學習中的重要性，感悟數學思想方法的內在聯系．
2．通過對數函數的圖象、性質的探究，使學生感受類比推理、數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想方法，發展數學抽象、邏輯推理等核心素養．
3．通過對情境創設、問題導向的體驗，激活學生深度的理性思維．
4．通過合作探究的活動，使學生提高發現問題、分析問題、解決問題的能力，能夠用數學語言準確表述數學問題、數學現象，提升學生的探究力、學習力．
 
三、學生學情分析
在初中時期，學生們已經學習過了幾個簡單的初等函數，到了高中階段，函數便成為了貫穿高中數學的一條主線，對函數的研究也更加的深入．學生已經熟練掌握了對數的運算，并已完成了對冪函數、指數函數的研究，所以學生已經基本熟悉了研究基本初等函數的方法和過程：背景——概念——圖象和性質——應用，也掌握了數形結合、類比、歸納等數學思想方法．但學生在學習過程中，仍保留著初中生許多學習特點，能力發展正處于形象思維向抽象思維過渡的階段，更注重形象思維．
 
四、教學策略分析
　　1．按認知規律教學
    本節課類比冪函數、指數函數的研究方法，以基本初等函數的研究為單元的大概念教學引領了本節研究方向，符合知識發生的過程和學生學習的規律．
　　2．采用多樣化教學方式
　　教學過程中教師和學生共同參與，學生為主體，教師為主導，充分發揮學生積極自主的學習精神．其中小組間的合作為學生發現問題、分析問題、解決問題提供了契機；教具（透明坐標紙）的使用，實現了對不同的函數圖象的自由組合，也使學生活動更加豐富有趣；信息技術在教學中的使用，增強了圖象的直觀性，讓學生直觀感知圖象特點，符合新課程理念中的信息技術與課堂的深度融合；數學工具（計算器）的運用，讓學生在真實的情境中動手解決實際問題．
　　3．聯系實際，體會數學有用
　　創設情境，讓學生在數學情境中解決問題，加強數學建模活動、數學探究活動的教學．
　　4．落實嚴格的數學訓練
針對對數函數性質的應用，本節精選了例題和當堂檢測，并設置了書面作業和探究作業，做到實時評價，實時反饋．
 
五、教學過程
環節1：情境創設，方向引領
　　在研究對數函數之前，學生們研究過幾個基本初等函數，比如冪函數、指數函數，也由此得出了研究函數的一般“套路”．首先，由實際問題得到某類函數，并根據解析式特點抽象出這類函數的概念，即：結合實際，抽象概念．接下來，為了要研究函數，就要先作出圖象，再根據圖象特點去概括性質，即：作出圖象，概括性質．最后，回歸到研究函數的最終目的上，即：利用性質去解決問題．今天，教師將帶領學生按照這個步驟繼續研究對數函數．
　　設計意圖：教學的開頭，教師以研究函數的一般套路作為研究對數函數的第一個情境，以解決真實情境中的真實問題為導向，激發學生的理性思維．并構造出了研究的大致框架，統領了本節的方向和內容，也為學生今后研究其他的函數問題提供了方法指引．
預設的師生活動：教師向學生展示研究函數的一般方法和過程的思維導圖．
 
環節2：啟發誘導，合作探究
構建出研究框架后，為了引導學生研究函數的圖象和性質，本節設計了第二個情境——類比指數函數圖象與性質的研究，這里分為4個活動展開．
活動1：引導學生們回憶，之前在研究指數函數時，先用描點法畫了哪幾個指數函數的圖象呢？通過類比，能否確定本節要先畫哪幾個對數函數的圖象呢？課前教師已經給學生分了組并做了編號，每組都有A、B、C、D四名同學，引導大家根據教師的分工和要求，先完成探究一，并在坐標紙上用描點法畫出函數，，，的圖象．（說明：四個人一小組，按照下面圖片中的要求每人只畫一個圖象．）
 
  
 
 
探究一：

x	...			1	2	4	8	...
A同學填	...							...
B同學填 C同學填	...							...

x	...			1	3	9	...
	...						...
	...						...

C同學填

D同學填

設計意圖：在這個活動中，學生經歷了類比歸納、經驗指導的思維過程，感悟描點法是作函數圖象的最基本的方法，由圖象得到對函數的感性認知．
預設的師生活動：1．通過類比，確定本節課所要描點作圖的具體的對數函數；2．教師帶著學生回憶描點作圖法的步驟；3．教師對學生分工并布置作圖任務；4．教師展示出正確答案之后，拋出問題：為什么自變量取表格中的這些值？讓學生思考回答．
活動2：同桌結合（每組的AB結合，CD結合），疊放坐標紙，使兩個圖象呈現在同一坐標系內，觀察圖象，學生討論并總結出它們之間的共同點．從特殊上升到一般，引導學生猜想出當底數和時的圖象．此時學生猜想，老師通過作圖軟件驗證學生的猜想，并引導學生完成探究二.
探究二：

的圖象

設計意圖：引導學生通過觀察圖象特點，猜想并驗證對數函數的圖象，為總結對數函數的性質做鋪墊.在這個活動中，學生對不同圖象進行組合、對比，經歷了發現——猜想——驗證的思維過程．
預設的師生活動：同桌結合，觀察討論，教師點評，通過操作作圖軟件動態呈現當底數變化時的圖象，提問學生：為什么圖象恒過點呢？最后讓學生完成學案上探究二．
活動3：每組的前后兩名同學進行結合（AC結合，BD結合），疊放坐標紙，觀察圖象，此時兩圖象間有什么關系？（兩圖象關于軸對稱）教師帶領學生證明.
設計意圖：通過觀察得到底數互為倒數的兩圖象關于軸對稱這一結論．在本活動中，學生再次對不同圖象進行組合、對比，學生再次經歷發現——猜想——驗證的思維過程，引發了學生積極的思維活動，培養了學生發現問題、分析問題、解決問題的能力．
預設的師生活動：學生疊放坐標紙，觀察得到圖象的對稱性，并沿軸對折，發現兩圖象重合（對稱事實），教師引導學生去證明．
活動4：根據剛才所得到的對數函數的圖象，引導學生以小組為單位，討論對數函數的性質，并完成學案上的探究三．
探究三：

定義域
值域
過定點
單調性
函數值變化情況	當時,______ 當時,______	當時,______ 當時,______

設計意圖：在這個活動中，學生經歷了數學抽象的思維過程，滲透數形結合、轉化與化歸、分類討論的思想，培養學生抽象概括、直觀想象的能力，發展學生數學抽象的核心素養；
體現了教師“按認知規律教學”的理念和策略．
預設的師生活動：學生通過小組討論得到對數函數的性質并完成探究三，在這個過程中教師巡視，指導并參與學生的討論，選兩名同學板演黑板上的性質表格，完成后向大家講解，教師點評，并展示正確答案，最后引導學生歸納總結．
 
環節3：應用新知，解決問題
例3 比較下列各組數中兩個值的大小：
（1），；
（2），；
（3），．
例4 溶液酸堿度的測量．
溶液的酸堿度通過計量.的計算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．
　　（1）根據對數函數性質及上述的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；
　　（2）已知純凈水中氫離子的濃度為摩爾/升，計算純凈水的．
    追問：胃酸中氫離子濃度是摩爾/升，胃酸的是多少？
設計意圖：在本環節中，學生體驗了數學工具的運用，并經歷了模型構建、邏輯推理的思維過程，進一步理解對數函數的單調性，創設真實情境，用函數性質解決實際問題，體會數學有用．
預設的師生活動：在例3中，通過構造函數，應用對數函數的單調性去比較同底數對數的大小，并滲透分類討論的思想．教師板演第（1）題，學生們回答（2）、（3）題，最后總結本題的心得．在例4中，利用對數函數的相關知識探究實際生活中的真實問題．教師引導學生一起完成數學模型的構建，提出問題，學生回答問題，得出結論，并用計算器完成胃酸值的計算．
 
環節4：拓展新知，思維升華
古生物機體內碳14含量隨著死亡年數的變化而衰減，它們之間滿足指數關系式，定義域為，值域為，反過來，如果已知碳14含量，如何求死亡年數呢？由此引出對數函數，它們的定義域和值域互換，并說明這兩個函數互為反函數．最后教師更改變量的符號，即與互為反函數．
最后，由探究四中得到的與互為反函數的結論，得出：一般地，指數函數（，且）與對數函數（，且）互為反函數．
設計意圖：《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》不要求學生討論形式化的反函數定義，也不要求學生求已知函數的反函數，所以這里對反函數相關知識進行弱化講解，讓學生通過指數函數與對數函數的對應關系、定義域與值域的關系，從特殊上升到一般，來探索出同底數的指數函數與對數函數互為反函數．并通過問題串的設置，在學生的最近發展區內引發了學生積極的思維活動，最終使學生獨立完成探索和總結，得出一般結論．
預設的師生活動：讓學生獨立探索與指數函數具有互逆的對應關系的函數，引導學生思考這兩個函數的定義域和值域之間的關系，完成探究四后，引導學生發現同底數的指數函數與對數函數互為反函數．
 
環節5：學以致用，融會貫通
1．比較下列各組中兩個值的大小：
（1）_____；        （2）______；    （3）_____．
2．比較滿足下列條件的兩個正數的大小：
（1）；   （2）；  （3）．
3．函數的定義域為       ，過定點       ．  
設計意圖：檢測本節課教學效果，鞏固學生對本節內容的理解和掌握．在這個環節中，學生經歷了遷移應用，深入理解的思維過程，對所學的知識進一步內化和深加工．
預設的師生活動：學生在學案上完成當堂檢測，并按順序一人回答一道，之后教師點評．
 
環節6：課堂小結，作業布置
學習內容總結：（1）對數函數的圖象和性質；（2）對數函數的圖象和性質的應用；（3）同底數的指數函數與對數函數互為反函數．
數學思想方法總結：本節運用了類比，數形結合，從特殊到一般，分類討論等數學思想方法研究了對數函數的圖象和性質．
設計意圖：在課堂小結中，學生經歷了回顧、歸納、反思的思維過程，再次體會研究函數的一般套路，為學生再次研究函數提供方法支撐，培養了學生的表達能力．適時的組織和指導學生歸納知識和技能的一般規律，有助于學生更好的學習、記憶和應用，發揮知識系統的整體優勢，并為后續學習打好基礎．
預設的師生活動：教師先引導學生回顧本節的知識，接著在總結數學思想方法時，學生舉手回答，教師指點補充．
作業布置：1．書面作業：課本第135頁第1題，第141頁第10題；2．探究作業：課本第135頁的探究與發現．
設計意圖：書面作業與課堂中的例3例4相呼應，比較了同底數對數的大小，研究了現實生活中的問題——聲強問題．探究作業讓學生在了解了互為反函數的兩個函數解析式關系的基礎之上，進一步探究圖象間的關系，從數和形兩方面對函數關系進行深入考察．
  
板書設計

§4.4.2 對數函數的圖象和性質
一、圖象和性質             圖象     定義域     值域     過定點     單調性     函數值變化情況	和的圖象關于軸對稱. 二、例3 解：（1）   三、一般地，指數函數（，且）與對數函數（，且）互為反函數．

 

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