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視頻標簽：第十一屆全國高中
所屬欄目：高中數學優質課視頻
視頻課題：第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《二項分布》河北—于
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第十一屆全國高中青年數學教師優質課大賽《二項分布》河北—于
《二項分布》教學設計
授課者：于亞男
【教學內容】
本節內容是人教A版選擇性必修三第七章《隨機變量及其分布》的第四節《二項分布與超幾何分布》的第一節課。在自然現象和社會現象中，大量的隨機變量都服從或近似的服從二項分布，實際應用廣泛，理論上也非常重要。本節課是從生活實際入手，了解伯努利試驗和n重伯努利試驗的特點，通過由特殊到一般的方法推導出二項分布的概率模型及其數字特征。發展學生數學抽象、邏輯推理及數學運算的素養。
本節內容是對前邊所學知識的綜合應用，是對已有知識的“再創造”與“整合”的過程；是從實際入手，通過抽象思維，建立數學模型，進而認知數學理論，應用于實際的過程。要鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，從而體會數學的科學價值和應用價值。
【教學目標】
1.學生通過具體實例，理解n次伯努利試驗的特點，并會判斷一個具體問題是否服從二項分布;
2.學生通過獨立思考、相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能歸納出二項分布的概率模型，從中體會數學的理性與嚴謹，提升數學抽象、邏輯推理與數學運算的素養。
3.學生經歷實際問題的對比分析，歸納提煉，樹立普遍聯系的概念；在問題的解決過程中感悟數學與生活的和諧之美，體會數學的文化價值和應用價值。
【重點難點】
教學重點：n重伯努利試驗，二項分布的概率模型及簡單應用。
教學難點：在實際問題中抽象出模型的特征，并應用二項分布的概率模型解決實際問題。
【學情分析】
通過前面的學習，學生已經學習掌握了有關概率和統計的知識：等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率、相互獨立事件概率的求法及分布列有關內容。但是對于從實際問題中抽象出數學模型還是有些困難的，需要老師啟發引導，在老師的啟發引導下，學生能從拋硬幣的試驗中抽象出n重伯努利試驗的概念，從擲圖釘的試驗中歸納出二項分布的概率模型。
【教學策略】
本節課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示。為了讓學生歸納探究出二項分布的概率模型，課堂應為學生創造積極探究的平臺。在教學設計中，采用情景教學、啟發式教學和合作學習策略，并借助Excel和ggb軟件輔助教學。問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究突破教學重點和難點。
教學過程中，重視二項分布概率模型的構建，讓學生體會從特殊到一般的數學抽象的基本過程，同時模型的構建和應用是數學模型建立與應用的典范。因此，本節課的教學是實施具體內容的教學與核心素養教學相結合的嘗試。
【教學過程】
具體展開：
（一）情境創設
情景：兩名同學因某個問題而爭辯，均不能說服對方，決定用拋硬幣的方式來定勝負。將一枚質地均勻的硬幣隨機拋擲100次，如果出現50次正面向上，則甲勝，否則乙勝。
(設計意圖：用同學們熟悉的情景引入，但課堂上并不真的拋擲硬幣，而是用Excel表格中生成0、1隨機數來替代拋硬幣的試驗，1代表正面向上，0代表反面向上，這樣既便于操作又便于數據的分析統計。另外通過多組隨機數的產生也可以讓學生進一步的理解頻率與概率的關系。）
（二）概念生成
問題1:每次拋硬幣試驗可能出現的結果有幾種？
問題2:各次試驗間是否相互影響？
問題3:每次試驗中出現正面向上的概率是多少？
問題4:最可能出現多少次正面向上？
（設計意圖：通過例子引出概念，為了讓學生更好的理解n重伯努利概型的特征，提供更多生活實例引導同學們思考，問題中的伯努利試驗是什么，事件A發生的概率是多少，重復試驗的次數是多少，各次試驗的結果是否相互獨立等）
探究：投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續擲一枚圖釘3次。
Ai表示事件”第i次擲得針尖向上”i=1，2，3
Bk表示事件“連續擲3次圖釘，恰有k次針尖向上”k=0，1，2，3
問題1:針尖0次向上的概率
問題2:針尖恰有1次向上的概率
問題3:針尖恰有2次向上的概率
問題4:針尖恰有3次向上的概率
變式：投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續擲一枚圖釘n次。
用Ai表示事件”第i次擲得針尖向上”i=1，2，3,……,n.用Bk表示事件“連續擲n次圖釘，恰有k次針尖向上”k=0，1，2，3,……,n.
問題1:針尖0次向上的概率
問題2:針尖恰有1次向上的概率
問題3:針尖恰有2次向上的概率
...
問題4:針尖恰有k次向上的概率
于是得到隨機變量X的概率分布如下：(q=1－p)
對比該分布列與二項式定理(a+b)^n的展開,
你能看出它們之間的聯系嗎?
二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為用p（0<p<1），用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p)
（設計意圖：采用由特殊到一般；由具體到抽象的數學方法，層層深入，引導學生逐步構建出二項分布的模型，并在推導的過程中通過文字語言和符號語言的相互轉化，發展學生的數學抽象的核心素養。教學中讓學生獨立思考，相互交流，充分經歷探究過程，提升數學抽象、邏輯推理和數學運算的素養。最后對每個字母做詳細解讀，幫助學生理解二項分布的概念，在字母B的解釋中加入數學史，豐富課堂內容。）
問題：這兩個模型之間具有什么聯系呢?
（設計意圖：回顧兩點分布的概率模型，引導學生對比兩點分布、二項分布兩個模型的區別與聯系，掌握兩點分布是二項分布的特例，二項分布是兩點分布的一般情況，進一步加深對兩個模型的理解。并引導學生樹立起用概率模型研究問題的意識，為后續超幾何分布及正態分布概率模型的學習奠定基礎。）
1、有了二項分布的概率模型，我們就可以準確計算出100次拋硬幣試驗中50次正面向上的概率
下面我們借助計算機來計算，通過Excel表格中的公式來計算出正面0-100次時的概率，并繪制圖表幫助同學們更直觀的觀察出，出現50次的概率確實是最大的，但這個數據遠小于0.5，通過區間計算40≤X≤60內的概率約為0.96，說明在100次拋擲硬幣的試驗中，正面向上的次數在50次左右，但并不能說明100次拋硬幣中就一定會有50次向上。
（設計意圖：注重信息技術與數學課堂的深度融合，實現傳統的教學手段難以達到的教學效果。例如：利用計算機進行探究算法、進行大規模的數據處理并繪制合適的圖表幫助學生體會“概率為0.5”的含義，拋擲一枚質地均勻的硬幣，出現正面向上的概率為0.5，并不能保證拋擲100次就一定會有50次正面向上，只能說明出現正面向上的次數在50次左右的概率是比較大的。）
2、如：圖7.4-2是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求 X的分布列
通過數學軟件演示高爾頓板的動態過程，幫助學生理解試驗原理。
問題1:伯努利試驗是什么？
問題2:事件A是什么？
問題3:事件A發生的概率是多少？
問題4:各次試驗之間是否相互獨立？
問題5:重復試驗的次數是多少？
問題6:成功的次數與落入格子的號碼之間的對應關系是什么？
問題7:隨機變量X是否服從二項分布？
歸納：確定一個二項分布模型的一般步驟
（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發生的概率p
（2）確定重復試驗的次數n，并判斷各次試驗的獨立性
（3）設X為n次獨立重復試驗的事件A發生的次數，則X~B(n,p)
（設計意圖：通過ggb軟件演示高爾頓板的試驗，使學生更加直觀的看到到小球下落的情況，即偶然中蘊含著必然的規律，另外可以發現，高爾頓板試驗和拋硬幣的試驗從數學上講本質是一樣的。充分體現了隨機事件形形色色，隨機現象表現各異，但是如果舍棄具體背景，它們就會呈現出一些共性。并通過本例引導學生總結歸納確定一個二項分布模型的一般步驟）
3、喜迎黨的二十大，班級預開展男、女生知識競賽，如果每局比賽女生獲勝的概率為0.6，男生獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制，對女生更有利？
左邊三組計算3局2勝制時女生獲勝的概率
右邊三組計算5局3勝制時女生獲勝的概率
追問：若采用7局4勝制女生獲勝的概率又是多少呢？
追問：我們可以得到哪些結論？
乒乓球計分規則的改變：國際乒聯決定從2001年9月1日起將每局21分改為每局11分。
賽制的改變會對中國隊帶來哪些影響？
（設計意圖：比較不同賽制下一方獲勝的概率會有怎樣的變化，為了節省課堂時間，前3組完成3局2勝制中女生獲勝的概率，后3組完成5局3勝制中女生獲勝的概率，通過具體數據來驗證直覺。通過追問，引發學生思考，并總結出賽制越長對水平高的一方更有力的結論。通過以上實例的講解讓學生體會，數學源于生活又服務于生活。對乒乓球賽制改變的解讀，是對本節課所學知識的再應用，讓同學們體會到數學可以讓我們更理性、更客觀、更準確的做出決策。）
（六）課堂小結
1.通過今天這節課的學習我們學習到了什么知識？
2.我們通過什么樣的方法構建了二項分布的概率模型？體現了怎樣的數學思想？
3.確定一個模型是二項分布的模型的一般步驟是什么？
4.通過本節課的學習我還有哪些收獲？
5.你能舉出哪些服從二項分布模型的實例？
（設計意圖：以問題串的形式引導學生對本節課進行回顧和整理，在掌握知識的同時，更體會數學思想在學習數學中的重要性。梳理如何建立一個新的概率模型的一般方方法，為后續學習奠定良好的基礎。）
（七）課后作業
二項分布模型的應用非常的廣泛，例如：生產過程中的質量控制和抽樣方案，都是以二項分布為基礎的；參加某保險人群中發生保險事故的人數；試制藥品治愈某種疾病的人數；感染某種病毒的人數等，都可以用二項分布來表述。
請同學們課下選擇一個感興趣的方向，通過查閱資料和收集數據，運用所學知識，給出對某種現象的科學解釋或某種決策的合理化建議，并形成文字報告。
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