視頻標(biāo)簽：第十一屆全國高中

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示》河南—趙

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第十一屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課大賽《空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示》河南—趙

2022年全國高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課教學(xué)設(shè)計(jì)
 
 
 
§1.4.1 空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示

（第一課時）

                                                                    
 
 
 
一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析
（一）內(nèi)容
空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示，以及平面法向量的概念和求法．
（二）內(nèi)容解析
本節(jié)課是本章第4節(jié)的第一課時，本章的第4節(jié)空間向量的應(yīng)用，是在學(xué)習(xí)了空間向量及其運(yùn)算、空間向量基本定理以及空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示之后，再利用空間向量集中、具體地解決立體幾何的問題．前面的學(xué)習(xí)比較分散，隨學(xué)隨用、學(xué)以致用，同時在解決立體幾何問題中鞏固空間向量的知識，而本節(jié)內(nèi)容，讓學(xué)生進(jìn)一步集中體會用向量解決立體幾何問題的思想和方法．作為本節(jié)的第一課時《空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示》，可以說是起著承上啟下的作用，既充分運(yùn)用了前面所學(xué)知識，來對空間基本元素的向量表示進(jìn)行探究，又是本節(jié)的第2-6課時所研究內(nèi)容的重要理論基礎(chǔ)．因此，學(xué)好本節(jié)課，至關(guān)重要．
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：利用向量集方向和大小于一身的特性，利用共線定理以及平面向量基本定理的內(nèi)容，推導(dǎo)點(diǎn)、直線和平面的向量表示；類比直線的方向向量的概念，探索平面的法向量的概念，并能夠在具體問題中求得平面的法向量．

• 教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析

• 目標(biāo)

1.能利用共線定理、平面向量基本定理等內(nèi)容，探究點(diǎn)、直線和平面的向量表示，并建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系；理解直線的方向向量和平面的法向量，掌握平面法向量的求解方法；
2.通過經(jīng)歷問題的探究過程，體會其中的研究方法，從而把握問題的本質(zhì)；感悟此過程中所體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想；
3.通過提出問題、分析問題和解決問題的過程，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)．
（二）目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
1.學(xué)生通過長方體這個載體，直觀想象、抽象歸納出點(diǎn)的位置向量，并明確用點(diǎn)的位置向量來表示點(diǎn)的意義．
2.學(xué)生能夠通過抓住“點(diǎn)的位置向量”這條主線，突破“直線的向量表示”這個難點(diǎn)，從而自主探究得出“平面的向量表示”方法；通過“陀螺的軸和圓盤平面始終保持垂直關(guān)系”的實(shí)例，抽象出“平面法向量”的概念，并理解法向量的作用及意義．
3.學(xué)生能夠體會從“點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系”是如何轉(zhuǎn)化為“向量的位置關(guān)系”的，以及從“向量的位置關(guān)系”又是如何轉(zhuǎn)化為“向量的數(shù)量運(yùn)算”的過程中所體現(xiàn)出來的轉(zhuǎn)化與化歸思想．

• 學(xué)生學(xué)情分析

• 學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對象是高二學(xué)生.學(xué)生在本節(jié)課之前已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)有：
1.平面向量的概念、運(yùn)算，平面向量基本定理及坐標(biāo)表示；
2.空間向量的概念、運(yùn)算，空間向量基本定理及坐標(biāo)表示；
3.立體幾何初步的相關(guān)知識．
雖然學(xué)生有平面向量在平面幾何中的應(yīng)用以及空間向量解決簡單立體幾何問題的基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)，但由于他們對空間立體幾何中引進(jìn)空間向量的意圖還不夠明確，對“向量法”在具體解決立體幾何問題時的整體思路的把握還不夠熟練，導(dǎo)致他們對空間向量的認(rèn)識還是很分散的，不夠系統(tǒng)的．因而他們對于如何借助向量來表示空間幾何體還是有很大困難的，更難理解如何用向量表示式來表示點(diǎn)線面了．考慮到學(xué)生已有用“任意一個”來代替所有對象的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)時可在教師的提示下讓學(xué)生充分理解“表示直線（平面）就是表示直線（平面）上的任意一點(diǎn)”，將問題轉(zhuǎn)化為探索直線或平面上任意一點(diǎn)P的位置向量所需滿足的條件，從而得到線面的向量表示式．
對于平面法向量的概念，學(xué)生通過陀螺旋轉(zhuǎn)過程中，陀螺的軸和圓盤平面始終保持垂直關(guān)系，能夠抽象出刻畫平面方向的向量——法向量，從而經(jīng)歷借助法向量表示平面的探究過程，此過程有前面的向量表示做基礎(chǔ)，對于學(xué)生來說，并不是難點(diǎn)．但是非特殊平面的法向量的求法，對于學(xué)生來說是一個新的知識內(nèi)容，教學(xué)時需要引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)，一步一步地分析問題從而解決問題．
（二）教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn)：點(diǎn)、直線和平面的向量表示，以及平面法向量的求法．
難點(diǎn)：點(diǎn)、直線和平面的向量表示的探究過程．
（三）難點(diǎn)突破策略
通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷“痛苦”的思考過程，使學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)為什么“向量可以代替點(diǎn)、直線和平面”，“如何借助向量來表示點(diǎn)、直線和平面”，繼而通過抓主線——點(diǎn)的位置向量，轉(zhuǎn)化、類比，最后得到正確的結(jié)論．

• 教學(xué)策略分析

• 問題診斷

1.學(xué)生對“用向量表示點(diǎn)、直線和平面”中“表示”一詞，難以理解．
2.學(xué)生可以通過探究初步認(rèn)識到“如何借助向量和定點(diǎn)確定一條直線和一個平面”，但對于“如何把直線和平面表示成一個向量關(guān)系式”，學(xué)生可能還會有些困惑．
（二）教學(xué)策略
1.通過以長方體為載體，建立學(xué)生熟悉的立體空間場景，減少學(xué)生的畏難情緒，此外，將所有的探究都在同一個場景下進(jìn)行，一線貫穿，減少無效勞動，集中學(xué)生的注意力，使他們專注于主要問題的討論．
2.通過引導(dǎo)學(xué)生抓主線——點(diǎn)的位置向量，即直線所對應(yīng)的向量其實(shí)就是直線上任意一點(diǎn)的位置向量，平面所對應(yīng)的向量就是平面內(nèi)任意一點(diǎn)的位置向量，使學(xué)生對直線和平面的向量表示的探究層層遞進(jìn)，并得出相應(yīng)的向量表示式．
五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）引導(dǎo)語：本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)《空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示》，關(guān)于向量，前面我們也學(xué)過一些知識，也解決過一些問題，也體驗(yàn)到了它的一些優(yōu)越性，比如像線面垂直的判定定理，如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，那么它就垂直于這個平面．這個定理的證明，如果用綜合幾何法是非常麻煩的，書寫下來大概需要一兩頁，但用了向量法就很簡單，短短幾行就得出了結(jié)論．然而，向量法的優(yōu)越性，我們看到的也只是一點(diǎn)點(diǎn)．其實(shí)，運(yùn)用向量法可以解決空間幾何中的所有問題．
那同學(xué)們想一下，立體幾何，都有哪些問題？(學(xué)生答)
立體幾何問題無非是位置關(guān)系與度量計(jì)算，如果我們要把這些問題交給向量來解決，關(guān)鍵是什么呢？
空間中所有幾何體都是由點(diǎn)線面組成的，只要用向量表示了點(diǎn)、線、面，那么也就可以表示所有幾何體了，從而將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算問題，那到底該怎么表示呢？
【設(shè)計(jì)意圖】此段引導(dǎo)語體現(xiàn)三個方面的內(nèi)容：1.前面我們學(xué)習(xí)過向量的相關(guān)知識，并從簡單的應(yīng)用過程中體會到了向量法的一些優(yōu)越性；2.我們想用向量來解決什么樣的立體幾何問題；3.向量法解決立體幾何問題的關(guān)鍵是什么．突出研究目的，構(gòu)建知識框架，明確研究目標(biāo)．
（二）新知探究
探究一：如何用向量表示空間中的一個點(diǎn)？
問題引入：用哪個向量表示點(diǎn)？

師生活動：通過觀察和問題的提出，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將一個向量和一個點(diǎn)建立起關(guān)系，從而想到“還需再找一個起點(diǎn)，比如點(diǎn)”的辦法．
追問1：什么是“表示”？
追問2：若還有一個向量，滿足條件，那么點(diǎn)在哪？
追問3：非得用點(diǎn)作為起點(diǎn)嗎，如果用空間中的任意一點(diǎn)作為基點(diǎn)，點(diǎn)的位置向量是誰，誰來表示點(diǎn)？
學(xué)生活動：學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)和點(diǎn)重合，也就是說唯一確定點(diǎn)；如果用空間中的任意一點(diǎn)作為基點(diǎn)，點(diǎn)的位置向量為，此時點(diǎn)被向量所表示．
【設(shè)計(jì)意圖】開門見山地提出“用哪個向量表示點(diǎn)”的問題，首先使學(xué)生明確“表示”就是“代替”；其次引導(dǎo)學(xué)生思考為什么向量可以表示點(diǎn)；最后得出“一個點(diǎn)就是用它的位置向量來表示”的結(jié)論．
探究二：如何用向量表示空間中的一條直線？
問題引入：用哪個向量表示直線？
師生活動：首先，教師依然提醒學(xué)生“表示”就是“代替”；其次，表示的是誰？（直線）所以，要先把直線的位置確定下來（一個點(diǎn)和一個方向向量唯一確定直線）；再次，如何借助向量和定點(diǎn)來表示直線上任意一點(diǎn)的位置向量（）；最后，深入剖析為什么能夠這樣表示（⟺∥⟺）．
追問：非得用點(diǎn)做基點(diǎn)嗎？如果用空間中任意一點(diǎn)作為基點(diǎn)，又該如何表示直線上任意一點(diǎn)的位置向量？
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從位置關(guān)系∥出發(fā)，雖然此時點(diǎn)的位置向量并不與方向向量平行，但我們可以將轉(zhuǎn)化為來表示，于是得到直線的向量表示式.
追問：有時候我們也把上式寫為：，大家能看懂嗎？什么意思呢？此時點(diǎn)在哪？
師生活動：同學(xué)們研究發(fā)現(xiàn)，此時的點(diǎn)在直線上．教師提醒，有些時候，我們可以根據(jù)題目條件直接選取直線上的向量作為它的方向向量，之后表示直線去參加運(yùn)算．
【設(shè)計(jì)意圖】以問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生逐步探索，層層遞進(jìn)，直到獲得問題的本質(zhì)．通過引導(dǎo)學(xué)生有邏輯的思考，培養(yǎng)其邏輯推理的能力．
探究三：如何用向量表示空間中的一個平面？
1.問題引入：如何用向量表示平面？

師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)還用點(diǎn)和方向向量不能唯一確定平面，想要唯一確定平面，還需添加什么條件？（再添加一個不與向量共線的向量，比如向量）為了表示的方便，令．
追問：如何借助點(diǎn)以及兩個不共線的向量和來表示平面？
學(xué)生活動：根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，自主探究平面的向量表示式．
學(xué)生展示：教師隨機(jī)拍取一位同學(xué)的研究成果，并讓此同學(xué)描述研究過程．
師生活動：根據(jù)學(xué)生的展示，教師將此研究過程具體展開以“一問一答”的形式進(jìn)行詳細(xì)的講解（⟺，共面⟺）．
追問：非得用點(diǎn)做基點(diǎn)嗎？如果用空間中任意一點(diǎn)作為基點(diǎn)，又該如何表示平面上任意一點(diǎn)的位置向量？
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線的向量表示，得出，從而得到．
追問：有時候，我們也把上式寫為：，大家能看懂嗎？什么意思呢？點(diǎn)和點(diǎn)在哪？
師生活動：根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以很快發(fā)現(xiàn)此式的意義所在，即在有些題目中，通常用平面內(nèi)的兩個不共線的向量來確定此平面，有時是很方便的．
【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生已經(jīng)掌握了點(diǎn)和直線的向量表示的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的手段進(jìn)行自主探究．通過動手操作，給出平面的向量表示式的猜想．學(xué)生可以得出，但對于這個式子為何可以成為平面的向量表示式還會有疑慮．通過追問（什么樣的向量才滿足此式？為什么會共面？反之，是否成立？），逐步打消他們的疑惑，以使學(xué)生確認(rèn)此表示式的正確性．從而使學(xué)生進(jìn)一步體會幾何問題向代數(shù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)化過程，體會直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證的研究問題一般過程，發(fā)展直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．
2.問題引入：請同學(xué)們對比與，哪個更為簡潔？能否也只借助一個點(diǎn)和一個向量來表示一個平面呢？
師生活動：大部分學(xué)生都會在平面內(nèi)去找可以表示平面的那個向量，但很快又都發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)的哪一個向量都不能唯一確定這個平面，所以教師引導(dǎo)學(xué)生跳出這個平面去尋找．
通過陀螺的軸與陀螺圓盤始終保持垂直關(guān)系的實(shí)例，讓學(xué)生直觀想象可以刻畫平面方向的向量應(yīng)該是一個什么樣的向量，從而引出“法向量”的概念．
追問：在長方體情境下，平面的法向量都有誰？只給出平面的一個法向量是否可以將這個平面唯一確定？
師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面的法向量不唯一，只有平面的一個法向量無法唯一確定這個平面，還需再加一個定點(diǎn)．于是點(diǎn)和法向量（令）就唯一確定了平面．
追問：如何借助點(diǎn)和法向量來表示平面？
學(xué)生活動：點(diǎn)為基點(diǎn)，向量為點(diǎn)的位置向量，根據(jù)法向量的定義可知，，從而得到，即平面可以用集合來刻畫．
師生活動：教師與學(xué)生共同總結(jié)平面的兩種向量表示方法．并對點(diǎn)線面的向量表示進(jìn)行簡單系統(tǒng)的整理．
【設(shè)計(jì)意圖】實(shí)例引出“法向量”的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．由法向量的定義，學(xué)生可以自主探究得出垂直關(guān)系，繼而得到數(shù)量積為零的運(yùn)算關(guān)系，使學(xué)生再次體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
（三）例題分析，鞏固新知
例 如圖，在長方體中，，是的中點(diǎn).以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、y軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

1. 求長方體六個面的法向量；
2. 求平面的法向量．

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生說出第（1）問中平面的法向量的坐標(biāo)．
追問：還可以寫成其它的坐標(biāo)來表示平面的法向量嗎？如果可以，哪個更好？
師生活動：根據(jù)教師的問題，學(xué)生經(jīng)過思考，發(fā)現(xiàn)寫為更為簡練．
學(xué)生活動：請同學(xué)們自主完成長方體其余幾個面的法向量的坐標(biāo)表示，并思考為什么要選擇更為簡練的結(jié)果？
師生活動：此題第（2）問中平面的法向量，并不像第（1）問中平面的法向量那么容易得出，教師引導(dǎo)學(xué)生從法向量的定義出發(fā)，找到向量的垂直關(guān)系，向量的垂直關(guān)系再轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算，從而利用待定系數(shù)法求出法向量．教師根據(jù)學(xué)生回答，寫出主要步驟，之后在PPT中給出完整解題步驟，并和同學(xué)們一起進(jìn)行解題步驟的歸納總結(jié)．
【設(shè)計(jì)意圖】此題使學(xué)生初步體會平面的法向量的求法，對于簡單易找的，如何做；對于不能直接找出的，如何求.掌握解題方法和解題的一般步驟．
變式訓(xùn)練 如圖，在長方體中，，是的中點(diǎn).以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、y軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.求平面的法向量．
學(xué)生活動：學(xué)生獨(dú)自完成此變式．
學(xué)生展示：教師利用希沃Link將其中兩位同學(xué)的解題過程傳送到大屏幕，通過對比，發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)所選的平面內(nèi)的向量不完全相同，但并不影響結(jié)果，從而說明平面可以由向量中的任意兩個來表示．
【設(shè)計(jì)意圖】通過例題教學(xué)以及變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握求平面法向量的一種具體方法，結(jié)合題目的分析過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，并且進(jìn)一步學(xué)會獨(dú)立思考與歸納總結(jié)．
（四）課堂小結(jié)
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從以下三個方面對本節(jié)課進(jìn)行小結(jié)：知識內(nèi)容，研究方法和數(shù)學(xué)思想．具體來說，知識內(nèi)容方面：點(diǎn)線面的向量表示以及如何得到的這些向量表示式；研究方法方面：從始至終抓住了一條主線——點(diǎn)的位置向量；思想方法方面：本節(jié)課主要運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，具體體現(xiàn)在點(diǎn)線面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的位置關(guān)系，向量的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算關(guān)系，也就是幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來解決，使得原本復(fù)雜的問題變得簡單，原來不能解決的問題可以解決．今后同學(xué)們遇到貌似不能解決的問題或是無法逾越的困難時，想一想轉(zhuǎn)化思想，換一個角度，多一個視角，或許能夠柳暗花明！
【設(shè)計(jì)意圖】通過小結(jié)，梳理本節(jié)課所學(xué)的知識，并回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容的反思意識和習(xí)慣，幫助學(xué)生在更廣的范圍內(nèi)把所學(xué)的知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并掌握相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法．最后，讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活”，提高利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，讓生活數(shù)學(xué)化．
（五）作業(yè)布置
【必做題】第41頁 習(xí)題1.4 第1、2題
【選做題】第42頁 習(xí)題1.4 第3、4題
【設(shè)計(jì)意圖】通過分層作業(yè)的布置，使學(xué)生清楚，哪些是必須做到的，哪些是需要努力去做到的，從而使本節(jié)課所學(xué)知識得以鞏固和運(yùn)用．

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