視頻標(biāo)簽：雙曲線的,標(biāo)準(zhǔn)方程

所屬欄目：高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課視頻

視頻課題：人教B版高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《2.3.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》寧夏 - 吳忠

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《2.3.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì) 
一、 教學(xué)內(nèi)容解析 
雙曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著密切的關(guān)系，因此，研究它的幾何特征及其性質(zhì)有著極其現(xiàn)實(shí)的意義。學(xué)生初步認(rèn)識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學(xué)習(xí)是對其研究內(nèi)容的進(jìn)一步鞏固、深化和提高.如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學(xué)習(xí)就會順理成章.所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，橫向?yàn)殡p曲線的簡單性質(zhì)以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)拋物線，解決更復(fù)雜的解析幾何綜合問題奠定良好的基礎(chǔ).  
教學(xué)重點(diǎn)：理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程. 
突出重點(diǎn)的手段：通過畫圖揭示出雙曲線上的點(diǎn)所滿足的條件，再通過討論歸納得出雙曲線的定義；對于雙曲線的方程，可類比橢圓方程的推導(dǎo)得出方程并加以比較，加深認(rèn)識. 
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置 
依據(jù)教材的地位與作用，以及新課改對教學(xué)目標(biāo)的要求，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為： 1、通過教具和信息技術(shù)手段演示雙曲線的形成，由此得出雙曲線的定義并能獨(dú)立推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程； 
  2、通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究 ，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生的觀察與探究能力； 
  3、通過教師指導(dǎo)下的學(xué)生交流探索活動，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是和鍥而不舍的鉆研精神，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極態(tài)度. 
三、學(xué)生學(xué)情分析  
授課班級為寧夏吳忠市吳忠中學(xué)高二年級學(xué)生。 
從知識方面來說，學(xué)生從必修“平面解析幾何初步”到選修“圓錐曲線”，已經(jīng)學(xué)習(xí)直線、圓和橢圓，較為系統(tǒng)地研究了他們的性質(zhì)，對解析幾何的基本思想方法有了一定的認(rèn)識，基本掌握了求曲線方程的一般方法，能對含有兩個根式的方程進(jìn)行化簡，并對數(shù)形結(jié)合、類比推理的思想方法有一定的體會. 
從能力方面來說，作為高二年級的學(xué)生，其學(xué)習(xí)能力與理性思維都達(dá)到了一定的水
 2 
平.具備一定的計(jì)算、推理、知識遷移、歸納概括和分析問題、解決問題的能力等能力，并對數(shù)形結(jié)合、類比等思想方法有了一定的感悟. 
教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線定義的得出和標(biāo)準(zhǔn)方程的建立. 
突破難點(diǎn)的策略：始終以“類比”作為主線，引導(dǎo)學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)、觀察、交流、歸納定義；回顧坐標(biāo)法求橢圓方程的步驟，親自體驗(yàn)建立雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程. 
四、教學(xué)策略分析 
著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn).”雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗(yàn)，所以本節(jié)課采用了“啟發(fā)探究”、“類比教學(xué)”的教學(xué)方式，重點(diǎn)突出以下兩點(diǎn)：   1、以類比思維作為教學(xué)的主線   2、以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方式 
授之以“魚”不如授之以“漁”，教師只是課堂教學(xué)的引導(dǎo)者、啟發(fā)者，在新課程改革理念的指導(dǎo)下，要注重突出學(xué)生的主體作用.因此，在學(xué)習(xí)方法的制定上，將充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的作用，通過學(xué)生主動探索、動手實(shí)踐調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，形成理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q問題的態(tài)度. 
五、教學(xué)媒體設(shè)計(jì) 
充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，借助于多媒體手段來輔助教學(xué).運(yùn)用交互式電子白板結(jié)合PPT來展示教學(xué)內(nèi)容，展現(xiàn)優(yōu)美圖片、借助于幾何畫板軟件來演示動畫，讓學(xué)生產(chǎn)生直觀的認(rèn)識，激發(fā)興趣.同時充分發(fā)揮交互式電子白板的作用，讓學(xué)生運(yùn)用白板資源畫出曲線等，并借助于實(shí)物展示平臺來展示學(xué)生成果，既提高了課堂效率，也讓學(xué)生體會到信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用.  
六、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 
（一）回顧舊知，實(shí)驗(yàn)探索 
師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓，回顧一下，橢圓是如何定義的？ （請一位同學(xué)回答.） 
生：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1 、F2. 的距離的和等于常數(shù)2a（2a >| F1 F2 | ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓． 
師：若將橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”.即平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)21,FF的距離的差等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么? 
 
                    
             
                    
                             
 3 
學(xué)生表示不知道. 
師：我們不妨通過畫圖來探究. 
教師借助于拉鏈來說明作圖方法.（如圖） 
師：取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉鏈拉開的兩邊上
各選擇一點(diǎn)，分別固定在紙板上的點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2處，取拉頭處為M點(diǎn)，由于拉鏈兩段是等長的，則221FFMFMF，把筆尖放在點(diǎn)M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，M點(diǎn)到F1 ，F(xiàn)2的距離的差為常數(shù).這樣的動點(diǎn)M的軌跡是什么呢？ 
【學(xué)生活動】請一位同學(xué)上黑板演示(用兩段繩子來模擬拉鏈，進(jìn)行作圖)，其他同學(xué)觀察、思考. 
學(xué)生畫出一條曲線（如圖1）. 
教師帶領(lǐng)學(xué)生分析：這條曲線就是滿足下面條件的點(diǎn)的集合： 
12P={M||MF|-|MF|=}常數(shù)
 師：如果使點(diǎn)M到F2的距離減去到點(diǎn)F1的距離所得的差等于同一個常數(shù)，就得到另一條曲線（圖2）.這條曲線是滿足什么條件的點(diǎn)的集合？ 
生：21P={M||MF|-|MF|=}常數(shù)
.    
           
 
 
師：現(xiàn)在我們知道，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離的差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是這樣的兩條曲線. 這兩條曲線合起來叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支.它是滿足這兩個條件 ①12MF-MF=常數(shù)②21MF-MF=常數(shù)的點(diǎn)的集合.能不能將這兩個條件統(tǒng)一起來呢？    生：用絕對值.即12MFMF=常數(shù). 
師：很好.下面我們借助于幾何畫板來更直觀地感受一下雙曲線的形成.  
 圖1 
 圖2 
 
                    
             
                    
                             
 4 
【師生活動】 教師用多媒體演示雙曲線的形成,引導(dǎo)學(xué)生觀察，在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中， 12MFMF與的差有什么特征？學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，這個差是一組相反數(shù)，即動點(diǎn)M滿足條件12MF-MF=常數(shù).再次驗(yàn)證畫圖結(jié)果. 
師：雙曲線在科研和日常生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛.(出示雙曲線相關(guān)圖片——冷卻塔、立交橋、廣州塔、埃菲爾鐵塔) 這是繼橢圓之后我們要學(xué)習(xí)的第二種圓錐曲線. （板書課題：2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 指明本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.） 
【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)回顧橢圓概念，引出新問題.從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)入手，激發(fā)學(xué)生的求知欲.通過畫圖讓學(xué)生直觀地感受雙曲線的形成，并通過優(yōu)美圖片的展示，滲透數(shù)學(xué)美的教育，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美的同時體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 再次激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 
（二）抽象概括，歸納定義 
提出問題：剛才我們通過直觀演示，觀察到動點(diǎn)的軌跡是雙曲線.你們能根據(jù)剛才畫雙曲線的過程，類比橢圓的定義，歸納概括出雙曲線的定義嗎？（出示橢圓圖形及定義，引導(dǎo)學(xué)生類比.） 
學(xué)生討論交流，很快可以得出結(jié)果：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)21,FF的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于21FF）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．兩個定點(diǎn)12F,F叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．記為21FF=2c. 
[師生活動]若學(xué)生能夠得出常數(shù)小于21FF ，繼續(xù)后續(xù)問題，如果學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析.  
師：我們通常將定義中的常數(shù)記為2a,也就是說，雙曲線就是點(diǎn)集：
121
2
P={M|MF|-|MF
|=202FF}
aa，. 【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)在學(xué)生經(jīng)歷雙曲線形成的基礎(chǔ)上，類比橢圓定義，歸納概括雙曲線定義，有助于學(xué)生對雙曲線定義的理解.在這個過程中，培養(yǎng)學(xué)生的動手實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Α?br />  
                    
             
                    
                             
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歸納概括能力、對比分析能力，體會類比和數(shù)形結(jié)合思想方法.同時滲透數(shù)學(xué)美的教育，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美的同時體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 再次激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 
（三）類比橢圓，建立方程 
師：得到了雙曲線的定義，知道了它的基本幾何特征，這只是一種“定性”的描述，但是對于這種曲線還具有哪些性質(zhì)，尚需進(jìn)一步研究. 根據(jù)解析幾何的基本思想方法，我們需要利用坐標(biāo)法先建立雙曲線的方程“定量”的描述，然后通過對雙曲線的方程的討論，來研究其幾何性質(zhì).  
師：坐標(biāo)法建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟有哪些？  
[師生活動]請學(xué)生回顧坐標(biāo)法建立橢圓方程的步驟，分析雙曲線的幾何特征.請一位同學(xué)回答.  
提出探究內(nèi)容：你能類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？ 
【師生活動】這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點(diǎn)，但前面經(jīng)歷了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，學(xué)生不會感到太困難，因此本環(huán)節(jié)放手讓學(xué)生去嘗試，有困難可以互相討論.教師教師巡視、個別予以點(diǎn)撥指導(dǎo).絕大多數(shù)學(xué)生會選擇建立焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程. 
分析如下： 
(1)建系設(shè)點(diǎn):取過焦點(diǎn)12F,F的直線為x軸，線段12F,F的垂直平分線為y軸(如圖所示)建立直角坐標(biāo)系,設(shè)M(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c>0)，那么12F,F的坐標(biāo)分別是1F(-c,0),2F(c,0)．又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對值為2a. 
(2)寫動點(diǎn)滿足的集合:由定義可知，點(diǎn)M滿足集合： 
1212P={M|MF|-|MF|=2}={M|MF|-|MF|=2}aa ． (3)列方程（用坐標(biāo)表示條件）： 
22
1||()MFxcy
 ,22
2||()MFxcy
,2222()()2xcyxcya得 
(4)化簡方程:  
將這個方程移項(xiàng)，使式子兩邊平衡,再兩邊平方得：  
222222222222222()44()(),:(c-)x-y=(c-)
xcyaaxcyxcyaaaa移項(xiàng)整理兩邊平方可得 
 
                    
             
                    
                             
 6 
類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的處理方式進(jìn)行簡化,使其簡潔美觀 ，即22
222xy1c-aa
 
（教師待學(xué)生得到以上的結(jié)論時，請學(xué)生展示成果.講評關(guān)鍵點(diǎn). 特別強(qiáng)調(diào)在方程的形式上可以仿照橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的處理方式：由雙曲線定義2c>2a， 即c>a,設(shè)
2
2
2
c-=b(b>0)a，代入上式22
222xy-=1c-aa
，將式子進(jìn)一步簡化,使其簡潔、對稱，得到
方程：22
22xy-=1>0,b>0b
aa. 
（5）驗(yàn)證說明（由教師帶領(lǐng)學(xué)生分析.） 
師：由推導(dǎo)過程可知，雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程22
22xy-=1>0,b>0b
aa，
同時，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)到雙曲線的兩個焦點(diǎn)1F(-c,0),2F(c,0)的距離之差的絕對值為2a,即以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上.由曲線與方程的關(guān)系可知，該方程就是雙曲線的方程，我們把它叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示的雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為1F(-c,0),2F(c,0)，這里222c+ba.（教師板書兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程） 
師：你能得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？  
生：類比橢圓，只要交換方程中的x和y即可.這樣就得到了焦點(diǎn)在y軸上的雙曲
線的標(biāo)準(zhǔn)方程, 即為22
2210,0yxabab
.（教師板書） 
得到了雙曲線的定義和方程.借助于表格進(jìn)行雙曲線再認(rèn)識.強(qiáng)化概念.  定義  圖象   方程   焦點(diǎn) 
 
 a、b、c的關(guān)系  
 
【設(shè)計(jì)意圖】這一過程由學(xué)生自主完成，這樣設(shè)計(jì)使學(xué)生完全成了學(xué)習(xí)的主人，由被動的接受變成主動的獲取.通過雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力、推
 
                    
             
                    
                             
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理論證能力、探究能力、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.并感受雙曲線方程、圖形的對稱美，獲得成功的喜悅！  （四）初步應(yīng)用，例題講析 
師：學(xué)習(xí)了新知識，就要應(yīng)用，來看習(xí)題. 練習(xí)： 
（1）已知兩定點(diǎn))0,5()0,5(21FF若動點(diǎn)P到21,FF的距離的差的絕對值等于6，則動點(diǎn)P的軌跡是 （    ） 
A  雙曲線  Ｂ圓  Ｃ射線  Ｄ 線段 
（2）已知兩定點(diǎn))0,5()0,5(21FF若動點(diǎn)P滿足621PFPF，則動點(diǎn)P的軌跡是（  ） 
A. 雙曲線的右支          B. 雙曲線的左支  C. 以1F為頂點(diǎn)的射線      D. 以2F為頂點(diǎn)的射線 
例1、已知雙曲線兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 F1 (-5,0) F2(5,0) ，雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2 的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程. 
【師生活動】先由學(xué)生獨(dú)2立去做，待大部分同學(xué)完成后，由學(xué)生敘述，教師板書.例1要強(qiáng)調(diào)待定系數(shù)法求雙曲線方程的步驟：先確定焦點(diǎn)位置，再待定出方程，然后求解方程中的a和b，最后寫出所求方程. 
例2、求適合下列條件的雙曲線的方程 （1)a=4,b=5,焦點(diǎn)在x軸上； (2)a=3,c=5. 
練習(xí)是屬于概念辨析題，可以進(jìn)一步理解雙曲線的定義.例1主要是運(yùn)用待定系數(shù)法求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2在例1的基礎(chǔ)上再次強(qiáng)化待定系數(shù)法的應(yīng)用，同時對學(xué)生進(jìn)行分類討論數(shù)學(xué)思想的滲透，達(dá)到拓展知識、提高能力的目的. 
【設(shè)計(jì)意圖】 數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中得以鞏固的，通過例題使學(xué)生進(jìn)一步理解雙曲線的定義，掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法，并在解題過程中滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.通過學(xué)生的主體參與，使學(xué)生深切體會到本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，從而實(shí)現(xiàn)對
 
                    
             
                    
                             
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知識的再次深化. 
（五）知識總結(jié)，形成體系 出示問題： 
1.本節(jié)課你學(xué)到了什么知識？ 2.研究雙曲線用到了什么思想方法？ 
讓學(xué)生自己進(jìn)行總結(jié)，相互補(bǔ)充，教師點(diǎn)評： 
本節(jié)課首先通過畫圖揭示出雙曲線上的點(diǎn)所滿足的條件，由此歸納概括出雙曲線的定義，運(yùn)用坐標(biāo)法建立了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在習(xí)題中應(yīng)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.在整個過程中，類比橢圓的定義、圖象和標(biāo)準(zhǔn)方程的探究思路來處理雙曲線的類似問題.在這一學(xué)習(xí)過程中也進(jìn)一步體會了數(shù)形結(jié)合的思想. 
【設(shè)計(jì)意圖】 以問題形式來引導(dǎo)學(xué)生自我總結(jié).通過總結(jié)使學(xué)生對所學(xué)的知識有一個完整的體系，突出重點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，培養(yǎng)概括能力.同時，通過提煉數(shù)學(xué)的基本思想方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 
（六）布置作業(yè)，鞏固提高 必做題:   課本55頁 練習(xí)2，3題 選做題:   課本61頁 習(xí)題A 組2題 
課外作業(yè)：查閱資料：ＧＰＳ中的雙曲線導(dǎo)航原理. 
【設(shè)計(jì)意圖】 作業(yè)設(shè)計(jì)有梯度，分為必做題和選做題，注重不同層次的學(xué)生的認(rèn)知水平,學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際學(xué)習(xí)情況完成作業(yè)，盡量做到讓不同層次的學(xué)生都能有所收獲.課外作業(yè)為學(xué)生利用雙曲線性質(zhì)解決實(shí)際問題做準(zhǔn)備，既可以拓展學(xué)生的知識，又可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)中的廣泛應(yīng)用. 五、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 
1. 本節(jié)課以新課程的教學(xué)理念為指導(dǎo)，充分體現(xiàn)素質(zhì)教育的重點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.  
2.本節(jié)課不僅重視結(jié)論，也重視知識的生成過程，整個教學(xué)過程注重啟發(fā)探究、類比教學(xué)方式的應(yīng)用，是研究性教學(xué)的一次有益嘗試.在教學(xué)過程中，教師作為引導(dǎo)者、參與者、合作者，努力引導(dǎo)學(xué)生動手、探索、分析，親身經(jīng)歷知識形成的過程.在整個教學(xué)
 
                    
             
                    
                             
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過程中滲透了類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.  
3.在教學(xué)過程中通過學(xué)生動手實(shí)踐、自主探索，培養(yǎng)其分析、交流、抽象概括及數(shù)學(xué)表達(dá)的能力. 在建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，提高學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力及運(yùn)算能力. 借助于信息技術(shù)平臺，也使得教學(xué)更加直觀生動.

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